二項金利ツリーとカリブレーションとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・債券分析｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

二項モデル（二項金利ツリー）は、将来の短期金利が各期に「上昇」か「低下」の2通りに分岐すると考え、ツリーの後ろから順に割り引いて債券価格を求める方法です。
カリブレーションとは、ツリーで評価した国債などの価格が現在の市場価格（イールドカーブ）と一致するようツリーの金利水準を調整することです。
キャッシュフローが金利の経路によって変わる債券（経路依存）は、ツリーでは扱いにくく、モンテカルロ法などが使われます。

この記事では、証券アナリスト2次「債券分析」の学習ポイントのひとつ「二項モデルとカリブレーション」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次証券分析とポートフォリオ・マネジメント／債券分析
大分類	(5) 金利変動モデルに基づく債券価格評価
協会の学習ポイント	二項モデルと経路依存キャッシュフローに基づく債券価格評価法やカリブレーション法について理解する。

二項モデルとカリブレーションとは

固定利付債は、スポットレートで割り引けば価格が求まります。しかし、コーラブル債のように「将来の金利水準によってキャッシュフローが変わる」債券は、金利が将来どう動くかを明示的に考える必要があります。そこで使われるのが二項金利ツリーです。

ツリーの作り方と評価の手順

現在の1期金利から出発し、1期後には高い金利r_uと低い金利r_dの2つのノードに分かれます。よく使われるモデルでは、隣り合うノードの金利の比をボラティリティσで決め、r_u＝r_d×e^2σとします。評価は満期から逆算（後ろ向き帰納法）で行い、各ノードの価値は「1期後の2つのノードの（価値＋クーポン）の平均を、そのノードの金利で割り引いたもの」です（上昇・低下の確率はそれぞれ1/2）。

カリブレーション（キャリブレーション）

ツリーの金利をボラティリティだけで適当に決めると、オプションの付いていない国債でさえ市場価格と一致しなくなり、評価に裁定機会が生じてしまいます。そこで、各期のノードの金利水準を調整し、ツリーで評価したオン・ザ・ラン国債（パー債）の価格が市場価格と一致するようにします。これがカリブレーションで、期ごとに順番に（短い年限から）決めていきます。カリブレーションされたツリーで評価すれば、オプションのない債券はスポットレートで割り引いた価格と一致します。

経路依存キャッシュフロー

MBSの期限前償還のように、ある時点のキャッシュフローが「そこに至るまでの金利の経路」に左右される場合、再結合する二項ツリーでは同じノードに異なる経路が合流するため正しく扱えません。このような債券にはモンテカルロ・シミュレーションが使われます。

押さえておきたい公式

V ＝ {0.5 × (V_u ＋ C) ＋ 0.5 × (V_d ＋ C)} ÷ (1 ＋ r)各ノードの価値（後ろ向きに計算）

r_u ＝ r_d × e^2σ隣り合うノードの金利の関係（σは金利のボラティリティ）

具体例で確認

1年金利2.0％、2年パー債の利回り（クーポン）2.5％、ボラティリティσ＝15％として、1年後のノード金利をカリブレーションします。

r_u＝r_d×e^0.30とおき、2年パー債（クーポン2.5）の評価額がちょうど100になるr_dを探します。
結果はr_d≒2.568％、r_u≒3.466％。このとき V_u＝102.5÷1.03466≒99.066、V_d＝102.5÷1.02568≒99.934
現在価値＝0.5×(99.066＋2.5＋99.934＋2.5)÷1.02≒100.00で、市場価格と一致しました。
このツリーでクーポン3％の2年債を評価すると、V_u≒99.549、V_d≒100.421、価値＝0.5×(99.549＋3＋100.421＋3)÷1.02≒100.97