【CFA®︎ L2 Derivatives 公式集】Derivatives の重要公式22本｜記号の意味と使いどころを単元別に整理

CFA®︎ Level 2「Derivatives（デリバティブ）」の重要公式22本を、学習単元（Learning Module）ごとに整理しました。公式ごとに数式・記号の意味・使いどころをまとめています。数式が横に長い場合は、横にスクロールしてご覧ください。

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単元（LM）一覧

LM1 フォワード・コミットメントの価格と価値 LM2 条件付請求権の評価

Derivatives の重要公式（LM別）

LM1 Pricing and Valuation of Forward Commitments（フォワード・コミットメントの価格と価値）

この単元の要点解説：LM1 フォワード・コミットメントの価格と価値

1. フォワード・先物価格(キャリーなし・離散複利)

Forward/Futures Price (No Carry, Discrete Compounding)

F_{0} = FV (S_{0}) = S_{0} (1 + r)^{T}

F_{0}

時点0で合意するフォワード価格

FV (\cdot)

満期Tまでの将来価値（FV = Future Value）への換算

S_{0}

現在のスポット価格

r

年率リスクフリーレート（年複利）

T

満期までの年数

使いどころ：配当や保管費用などのキャリーがない原資産について、スポット価格を無リスク金利で将来価値に換算してフォワード価格を求める式。

2. キャリー調整フォワード価格(コスト・オブ・キャリー)

Forward Price with Carry Costs/Benefits (Cost-of-Carry)

F_{0} = FV (S_{0} + CC_{0} - CB_{0}) = FV (S_{0}) + FV (CC_{0}) - FV (CB_{0})

F_{0}

時点0で合意するフォワード価格

FV (\cdot)

満期Tまでの将来価値（FV = Future Value）への換算（×(1+r)^T）

S_{0}

現在のスポット価格

CC_{0}

キャリーコスト（CC = Carry Cost）の現在価値（保管・保険等。金融資産は0）

CB_{0}

キャリー便益（CB = Carry Benefit）の現在価値（配当・クーポン等）

使いどころ：配当・クーポンなどの便益や保管費用などのコストがある原資産のフォワード価格を、キャリーの将来価値を調整して求める式。

3. フォワード契約の期中価値(満期前評価)

Value of a Forward Contract Prior to Maturity

V_{t} = PV [F_{t} - F_{0}] = \frac{F _{t} - F _{0}}{( 1 + r ) ^{T - t}} = S_{t} - \frac{F _{0}}{( 1 + r ) ^{T - t}}

V_{t}

時点tでのロング・フォワードの価値

PV [\cdot]

現在価値（PV = Present Value）への換算

F_{t}

時点tでの新しいフォワード価格（=FV(S_t)。FV = Future Value）

F_{0}

契約時に合意した当初フォワード価格

r

年率リスクフリーレート

t, T

評価時点・満期時点（年）

T - t

残存期間（年）

S_{t}

時点tのスポット価格

使いどころ：契約後・満期前の時点で、既存のフォワード契約の価値を、新旧フォワード価格の差の現在価値として求める式。

4. 株価指数先物価格(連続配当利回り)

Equity Index Futures Price (Continuous Dividend Yield)

F_{0} = S_{0} e^{(r_{c} + CC - CB) T}

F_{0}

先物価格

S_{0}

現在の指数水準

r_{c}

連続複利（c = continuous）のリスクフリーレート

CC

連続複利のキャリーコスト（CC = Carry Cost。金融資産は0）

CB

連続複利のキャリー便益（CB = Carry Benefit。=配当利回りδ）

T

満期までの年数

使いどころ：連続複利の金利とキャリーを用いて、株価指数などの先物価格を求める式。配当利回りが連続的に生じる場合に使う。

5. FRA(金利フォワード)の固定金利

Forward Rate Agreement (FRA) Fixed Rate

FRA_{0} = \frac{\frac{1 + L _{T} t _{T}}{1 + L _{h} t _{h}} - 1}{t _{m}}

FRA_{0}

FRA（Forward Rate Agreement、金利先渡契約）の契約時の固定金利

L_{T}, t_{T}

長い方のスポットレートとその期間（=満期までh+m日の年換算）

L_{h}, t_{h}

短い方のスポットレート（FRA満期h日まで）とその期間

t_{m}

原資産デポジットの期間 = m/360

使いどころ：短期と長期の2つのスポット金利から、FRAの契約時の価値をゼロにする固定金利（フォワード・レート）を求める式。

6. FRAの満期決済額(前払い決済)

FRA Settlement Amount at Expiration (Advanced Settled)

Long = NA \cdot \frac{( L _{m} - FRA _{0} ) t _{m}}{1 + D _{m} t _{m}}

Short = NA \cdot \frac{( FRA _{0} - L _{m} ) t _{m}}{1 + D _{m} t _{m}}

Long, Short

FRAのロング（固定払い）側・ショート（固定受け）側の受取決済額

NA

想定元本（NA = Notional Amount）

L_{m}

満期h日に観測されたm日物の市場参照金利（MRR = Market Reference Rate。変動金利）

FRA_{0}

契約時に固定したFRA（Forward Rate Agreement）金利

t_{m}

原資産デポジットの期間 = m/360

D_{m}

決済額の割引率（通常 D_m=L_m と仮定）

使いどころ：FRAの満期時点で観測された市場金利をもとに、期初に割り引いて行う決済額を求める式。

7. FRAの期中価値(時点g)

Value of an FRA After Initiation (Time g)

V_{g} = NA \cdot \frac{( FRA _{g} - FRA _{0} ) t _{m}}{1 + D _{(T - g)} t _{(T - g)}}

V_{g}

時点gでのロングFRAの価値

NA, t_{m}

想定元本（NA = Notional Amount）、原資産期間 m/360

FRA_{g}

時点gで同満期の新しいFRA（Forward Rate Agreement）レート（固定金利式で再計算）

FRA_{0}

当初の固定金利

D_{(T - g)}

時点gから満期Tまで（T−g期間）の割引率

t_{(T - g)}

T−g期間の年換算期間（日数/360）

使いどころ：契約後の時点で、既存FRAの価値を、現在のFRAレートと当初のFRAレートの差の現在価値として求める式。

8. 債券先物の建値(コンバージョン・ファクター調整)

Fixed-Income Futures Quoted Price (Conversion Factor)

Q_{0} = \frac{1}{CF} {FV [B_{0} + AI_{0}] - AI_{T} - FVCI}

Q_{0}

時点0の債券先物の建値（クオート価格）

CF

コンバージョン・ファクター（CF = Conversion Factor。6%利回り基準への調整）

FV [\cdot]

満期Tまでの将来価値（FV = Future Value）への換算

B_{0}

原資産債券（最割安受渡銘柄）の現在のクリーン価格（経過利息を含まない）

AI_{0}, AI_{T}

契約時・満期時（T）の経過利息（AI = Accrued Interest）

FVCI

契約期間中のクーポンの将来価値（FVCI = Future Value of Coupon Interest）

使いどころ：受渡可能銘柄の価格、経過利息、クーポンの将来価値、転換係数を用いて、債券先物の理論的な建値を求める式。

9. 金利スワップの固定金利(スワップ価格決定)

Interest Rate Swap Fixed Rate (Par Rate)

r_{FIX} = \frac{1 - PV _{n} ( 1 )}{PV _{1} ( 1 ) + PV _{2} ( 1 ) + \dots + PV _{n} ( 1 )} \times \frac{1}{AP}

r_{FIX}

スワップの固定（FIX = fixed）金利（年率）

PV_{n} (1)

最終期n（元本返済時）の割引ファクター

PV_{i} (1)

第i期の割引ファクター（PV = Present Value。1の現在価値 = 1/[1+スポット金利×(日数/年日数)]）

AP

付利期間（AP = Accrual Period。年単位。年次リセットなら1、四半期なら90/360）

使いどころ：割引係数を用いて、金利スワップの契約時の価値をゼロにする固定金利を求める式。株式スワップの固定金利にも同じ式を使う。

10. 金利スワップの期中価値

Interest Rate Swap Value After Initiation

V_{SWAP, t} = NA \times (FS_{0} - FS_{t}) \times (PV_{1} + PV_{2} + \dots + PV_{n}) (受取固定)

V_{SWAP, t}

時点tの金利スワップ（SWAP）の価値（固定受取側）

NA

想定元本（NA = Notional Amount）

FS_{0}

当初の1期あたり固定支払率（FS = Fixed Swap rate）= AP（付利期間）×当初固定金利

FS_{t}

時点tの均衡1期あたり固定支払率 = AP×現行の固定金利

PV_{1} + \dots + PV_{n}

残存各期の割引ファクター（PV = Present Value）の合計

使いどころ：契約後の金利スワップの価値を、当初と現在のスワップ・レートの差、割引係数の合計、想定元本から求める式。

11. 通貨スワップの価格決定(想定元本・固定金利)

Currency Swap Pricing (Notional and Fixed Rates)

NA_{a} = S_{0} \times NA_{b}

r_{k} = \frac{1 - PV _{n, k} ( 1 )}{PV _{1, k} ( 1 ) + PV _{2, k} ( 1 ) + \dots + PV _{n, k} ( 1 )} \times \frac{1}{AP}

NA_{a}, NA_{b}

通貨a・bの想定元本（NA = Notional Amount）

S_{0}

スポット為替（通貨a/通貨b。通貨b1単位に対する通貨aの数）

r_{k}

通貨k（=a または b）の固定金利

PV_{i, k} (1)

通貨kの第i期（最終期はn）の割引ファクター（PV = Present Value）

AP

付利期間（AP = Accrual Period。年単位）

使いどころ：契約時の為替レートで一方の通貨の想定元本を決め、各通貨の割引係数から固定金利を求める式。

12. 通貨スワップの期中価値

Currency Swap Value After Initiation

V_{CS} = NA_{a} [AP r_{Fix, a} (PV_{1} + PV_{2} + \dots + PV_{n}) + PV_{n}] - S_{t} NA_{b} [AP r_{Fix, b} (PV_{1} + PV_{2} + \dots + PV_{n}) + PV_{n}]

V_{CS}

通貨スワップ（CS = Currency Swap）の価値（通貨a受取・通貨b支払側、通貨a建て）

NA_{a}, NA_{b}

各通貨の想定元本（NA = Notional Amount）

AP

付利期間（AP = Accrual Period。年単位）

r_{Fix, a}, r_{Fix, b}

契約時に固定（Fix）した各通貨の年率固定金利

PV_{1}, \dots, PV_{n}

現在の金利期間構造による各期の割引ファクター（PV = Present Value。各通貨で計算）

S_{t}

現在のスポット為替（通貨a/通貨b）

使いどころ：契約後の固定対固定の通貨スワップの価値を、2つの通貨建て固定利付債の価値の差として求める式。

13. 株式スワップの周期キャッシュフロー

Equity Swap Periodic Cash Flow

CF = NA_{E} \times AP \times (R_{E} - r_{FIX})

CF

株式リターン受取側の当期の決済額（CF = Cash Flow）

NA_{E}

株式（E = Equity）スワップの想定元本（NA = Notional Amount）

AP

付利期間（AP = Accrual Period。四半期なら90/360）

R_{E}

当期の株式（指数）リターン（その期の実現値）

r_{FIX}

年率固定（FIX = fixed）金利

使いどころ：株式スワップの各期の決済額を、株式リターンと固定金利の差に想定元本と期間を掛けて求める式。

14. 株式スワップの期中価値

Equity Swap Value After Initiation

V_{EQ, t} = V_{FIX} (C_{0}) - \frac{S _{t}}{S _{t - 1}} NA_{E} - PV (Par - NA_{E})

V_{EQ, t}

時点tの株式スワップ（EQ = Equity）の価値（固定受取・株式リターン支払側）

V_{FIX} (C_{0})

当初クーポンC_0の固定（FIX）利付債の現在価値（新金利で再評価）

S_{t} / S_{t - 1}

直近リセット以降の株価倍率

NA_{E}

株式の想定元本（NA = Notional Amount）

PV (\cdot)

現在価値（PV = Present Value）

Par

想定債券の額面（通常 NA_E と等しく設定）

使いどころ：契約後の株式スワップの価値を、固定レッグの債券価値と株式レッグの価値の差として求める式。

LM2 Valuation of Contingent Claims（条件付請求権の評価）

この単元の要点解説：LM2 条件付請求権の評価

15. 二項モデルのヘッジ比率

Binomial Option Hedge Ratio

h = \frac{c ^{+} - c ^{-}}{S ^{+} - S ^{-}}

c^{+}, c^{-}

上昇・下降時のオプション価値

S^{+}, S^{-}

上昇・下降時の原資産価格(=uS, dS)

h

ヘッジ比率(コールは≥0、プットは≤0)

使いどころ：1期間二項モデルで、原資産とオプションを組み合わせて無リスクのポートフォリオを作るための原資産の数量を求める式。

16. リスク中立確率(上昇確率)

Risk-Neutral Probability of Up Move

π = \frac{FV ( 1 ) - d}{u - d} = \frac{( 1 + r ) - d}{u - d}

π

リスク中立の上昇確率

FV (1)

1の1期後の将来価値（FV = Future Value）= 1+r

u, d

上昇係数・下降係数（1+リターン）

r

1期あたりリスクフリーレート

使いどころ：金利と上昇・下落の倍率から、二項モデルで用いるリスク中立の上昇確率を求める式。

17. 1期二項オプション価値(期待値アプローチ)

One-Period Binomial Option Value (Expectations)

c = PV [π c^{+} + (1 - π) c^{-}], p = PV [π p^{+} + (1 - π) p^{-}]

c, p

コール・プットの現在の価値

PV [\cdot]

リスクフリーレートによる1期割引（PV = Present Value）= 1/(1+r)

π

リスク中立の上昇確率

c^{+}, c^{-}

満期の上昇・下降時のコールのペイオフ

p^{+}, p^{-}

満期の上昇・下降時のプットのペイオフ

使いどころ：1期間二項モデルで、リスク中立確率による期待ペイオフを無リスク金利で割り引き、オプション価値を求める式。

18. 2期二項オプション価値

Two-Period Binomial Option Value

c = PV [π^{2} c^{++} + 2 π (1 - π) c^{+-} + (1 - π)^{2} c^{--}], PV = \frac{1}{( 1 + r ) ^{2}}

c

コールの現在の価値

PV

2期分の割引（PV = Present Value）= 1/(1+r)^2

π

リスク中立の上昇確率

c^{++}, c^{+-}, c^{--}

満期（2期）の各終端ノードのペイオフ（上昇2回・上下1回ずつ・下降2回）

r

1期あたりリスクフリーレート

使いどころ：2期間二項モデルで、満期の3通りのペイオフをリスク中立確率で加重し、割り引いてヨーロピアン・オプションの価値を求める式。

19. プット・コール・パリティ

Put-Call Parity (European Options)

S + p = PV (X) + c ⟺ p = c + PV (X) - S

S

原資産のスポット価格

p, c

プット・コールの価値

PV (X)

行使価格の現在価値（PV = Present Value）= X/(1+r)^T（連続複利なら Xe^{−rT}）

X

行使価格

使いどころ：同じ原資産・行使価格・満期のヨーロピアン・コールとプットの価値の関係を表す式。一方の価値から他方を求める場面で使う。

20. ブラック・ショールズ・マートン(BSM)モデル

Black-Scholes-Merton Model (with Carry Benefit)

c = S e^{- γ T} N (d_{1}) - e^{- r T} X N (d_{2})

d_{1} = \frac{ln ( S / X ) + ( r - γ + σ ^{2} /2 ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

c

ヨーロピアン・コールの価値

S, X

原資産の現在価格・行使価格

γ

連続複利のキャリー便益（株式=配当利回りδ、通貨=外国金利r_f）

T

満期までの年数

N (d_{1})

標準正規累積分布関数N(·)をd_1で評価した値（株式成分の係数。コールのデルタに関連）

N (d_{2})

コールがイン・ザ・マネーで満期を迎えるリスク中立確率

d_{1}, d_{2}

N(·)に代入する値（式中で定義）

σ, r

年率ボラティリティ、連続複利リスクフリーレート

使いどころ：原資産の便益（配当利回りや外国金利）を考慮して、株式や通貨を原資産とするヨーロピアン・オプションの価値を求める式。

21. ブラック・モデル(先物オプション)

Black Model for Options on Futures

c = e^{- r T} [F_{0} (T) N (d_{1}) - X N (d_{2})] c = e^{- r T} [F_{0} (T) - X] + p

c, p

先物コール・先物プットの価値

e^{- r T}

リスクフリーの割引ファクター（r：連続複利の年率リスクフリーレート、T：満期までの年数）

F_{0} (T)

満期Tの先物価格（原資産。スポットではない）

N (d_{1}), N (d_{2})

標準正規累積分布をd_1・d_2で評価した値。d_1=[ln(F_0/X)+(σ²/2)T]/(σ√T)、d_2=d_1−σ√T

X

行使価格

使いどころ：先物・フォワードを原資産とするヨーロピアン・オプションの価値を求める式。キャップ・フロアやスワップションの評価にも応用される。

22. オプション・デルタとデルタヘッジ

Option Delta and Delta Hedge

Δ_{c} = e^{- δ T} N (d_{1}), Δ_{p} = - e^{- δ T} N (- d_{1})

N_{H} = - \frac{Portfolio delta}{Δ _{H}}

Δ_{c}, Δ_{p}

コール（≥0）・プット（≤0）のデルタ

δ

連続配当利回り（無配当なら δ=0、Δ_c=N(d_1)）

T

満期までの年数

N (d_{1}), N (- d_{1})

標準正規累積分布をd_1・−d_1で評価した値（d_1はBSMモデルと同じ）

N_{H}

ヘッジ（H = Hedge）商品の必要数量（負なら空売り）

Portfolio delta

ヘッジ前のポートフォリオ全体のデルタ

Δ_{H}

ヘッジ商品のデルタ（株式なら+1）

使いどころ：オプションのデルタと、ポートフォリオのデルタを中立にするために必要なヘッジ手段の数量を求める式。

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