【CFA®︎ L2 Fixed Income 公式集】Fixed Income の重要公式26本｜記号の意味と使いどころを単元別に整理

CFA®︎ Level 2「Fixed Income（債券）」の重要公式26本を、学習単元（Learning Module）ごとに整理しました。公式ごとに数式・記号の意味・使いどころをまとめています。数式が横に長い場合は、横にスクロールしてご覧ください。

Leveraged Support Course をご利用の方へFA-Academy の Leveraged Support Course（LSC）をご利用の方には、この用語集と公式集をレベル別に整理した資料（PDF）をお渡ししています。オフラインでの確認や試験直前の見直しにご活用ください。Level 2 Leveraged Support Course の詳細を見る

単元（LM）一覧

LM1 金利の期間構造と金利変動 LM2 無裁定評価の枠組み LM3 オプション付き債券の評価と分析 LM4 信用分析モデル LM5 クレジット・デフォルト・スワップ

Fixed Income の重要公式（LM別）

LM1 The Term Structure and Interest Rate Dynamics（金利の期間構造と金利変動）

この単元の要点解説：LM1 金利の期間構造と金利変動

1. スポットレートと割引係数の関係

Spot Rate and Discount Factor

DF_{N} = \frac{1}{( 1 + z _{N} ) ^{N}} ⟺ z_{N} = (\frac{1}{DF _{N}})^{1/ N} - 1

DF_{N}

N期満期の割引係数（DF = Discount Factor。将来の1単位受取の現在価値）

z_{N}

N期のスポットレート（ゼロクーポンレート）

N

満期までの期間数

使いどころ：スポット・レートから割引係数を求める、または割引係数からスポット・レートを逆算する式。フォワード・レートやスワップ・レートの計算の基礎となる。

2. フォワードレート・モデル

Forward Rate Model

(1 + z_{B})^{B} = (1 + z_{A})^{A} (1 + f_{A, B - A})^{B - A}

z_{A}, z_{B}

A期・B期のスポットレート

f_{A, B - A}

A期後にスタートする(B−A)期間のフォワードレート

A, B

フォワードの起点(A)と満期(B)までの期間

使いどころ：2つの年限のスポット・レートから、将来時点を起点とするフォワード・レートを無裁定の関係で導く式。

3. 割引係数によるフォワード価格

Forward Price from Discount Factors

F_{A, B - A} = \frac{DF _{B}}{DF _{A}}

F_{A, B - A}

A時点に受け渡す（B−A）期満期債のフォワード価格

DF_{A}, DF_{B}

A期・B期の割引係数（DF = Discount Factor。将来の1単位受取の現在価値）

A, B

受渡時点（A）と債券の満期時点（B）までの期間

使いどころ：現時点で合意し将来受け渡すゼロクーポン債のフォワード価格を、2つの割引係数の比として求める式。

4. スポットレート=フォワードレートの幾何平均

Spot Rate as Geometric Mean of Forward Rates

z_{T} = [(1 + z_{1}) (1 + f_{1, 1}) (1 + f_{2, 1}) \dots (1 + f_{T - 1, 1})]^{1/ T} - 1

z_{T}

T期のスポットレート

z_{1}

1期スポットレート

f_{t, 1}

t期後スタートの1期フォワードレート

T

満期までの期間数

使いどころ：1期スポット・レートと一連の1期フォワード・レートの幾何平均として、長い年限のスポット・レートを求める式。

5. パーレートからのスポットレート・ブートストラップ

Bootstrapping Spot Rates from Par Rates

1 = \frac{c}{( 1 + z _{1} )} + \frac{c}{( 1 + z _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{c}{( 1 + z _{N - 1} ) ^{N - 1}} + \frac{1 + c}{( 1 + z _{N} ) ^{N}}

c

パーレート（額面で取引される債券のクーポン率。ここでは額面を1とする）

z_{1}, z_{2}, \dots, z_{N - 1}

既に求めた1期・2期…N−1期のスポットレート

z_{N}

解こうとするN期スポットレート

N

対象とする満期までの期間数

使いどころ：パー・レートから短い年限の順にスポット・レートを逐次的に求める式。ブートストラップ法の計算に用いる。

6. スポット(割引係数)からのスワップレート

Swap Rate from Spot Rates / Discount Factors

s_{T} = \frac{1 - DF _{T}}{DF _{1} + DF _{2} + \dots + DF _{T}}

where \frac{s _{T}}{( 1 + z _{1} )} + \frac{s _{T}}{( 1 + z _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{s _{T}}{( 1 + z _{T} ) ^{T}} + \frac{1}{( 1 + z _{T} ) ^{T}} = 1

s_{T}

T期スワップレート（固定レッグのレート）

DF_{1}, \dots, DF_{T}

1期…T期の割引係数（DF = Discount Factor。将来の1単位受取の現在価値）

z_{1}, \dots, z_{T}

1期…T期のスポットレート

T

スワップの満期までの期間数

使いどころ：固定レッグと変動レッグの現在価値が等しくなる条件から、スワップ・レートを割引係数やスポット・レートで求める式。

7. スワップスプレッド

Swap Spread

Swap spread = s_{swap} - y_{govt}

Swap spread

スワップスプレッド：スワップレートと国債利回りの差

s_{swap}

同一満期のスワップ（swap）固定レート

y_{govt}

同一満期のオンザラン国債（govt = government）の利回り

使いどころ：同年限のスワップ・レートと国債利回りの差を求める式。経済全体の信用・流動性リスクの指標として用いる。

8. キーレート・実効デュレーションによるポートフォリオ収益率

Portfolio Return via Key Rate / Effective Duration

%Δ V \approx - (KeyRateDur_{1} \times Δ y_{1} + KeyRateDur_{2} \times Δ y_{2} + \dots)

%Δ V

ポートフォリオ価値（V）の変化率

KeyRateDur_{i}

第i満期のキーレート・デュレーション（Key Rate Duration）

Δ y_{i}

第i満期の利回りの変化（小数）

使いどころ：各年限の利回り変化とキー・レート・デュレーションから、ポートフォリオ価値の変化率を近似する式。カーブ形状の変化の影響分析に使う。

LM2 The Arbitrage-Free Valuation Framework（無裁定評価の枠組み）

この単元の要点解説：LM2 無裁定評価の枠組み

9. スポットレートによる裁定なし価格

Arbitrage-Free Value with Spot Rates

P_{0} = \frac{CF _{1}}{( 1 + z _{1} )} + \frac{CF _{2}}{( 1 + z _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{CF _{N}}{( 1 + z _{N} ) ^{N}}

P_{0}

債券の裁定なし価格

CF_{1}, \dots, CF_{N}

各期のキャッシュフロー（CF = Cash Flow。クーポン、満期は＋額面）

z_{1}, \dots, z_{N}

各期のスポットレート

N

満期までの期間数

使いどころ：各キャッシュフローを満期の対応するスポット・レートで割り引き、オプションのない債券の無裁定価格を求める式。

10. 二項金利ツリーの後方帰納法による評価

Binomial Tree Backward Induction

V_{node} = \frac{0.5 V _{up} + 0.5 V _{down} + C}{1 + i _{node}}

V_{node}

当該ノード（node）の債券価値

V_{up}, V_{down}

次期の上位（up）・下位（down）ノードの債券価値

C

当該期のクーポン

i_{node}

当該ノードの1期フォワードレート

使いどころ：各ノードで上下2つの将来価値とクーポンの平均を、そのノードの金利で割り引いて価値を求める式。ツリーによる債券評価の基本となる。

11. ツリー金利の対数正規スプレッド

Lognormal Spacing of Tree Rates

i_{H} = i_{L} \times e^{2 σ}

i_{H}

同一時点の上位(高い)1期フォワードレート

i_{L}

同一時点の下位(低い)1期フォワードレート

σ

金利ボラティリティ(年率)

使いどころ：二項金利ツリーの同一時点で、隣接するノードの金利をボラティリティの仮定から関係づける式。ツリーのキャリブレーションに用いる。

LM3 Valuation and Analysis of Bonds with Embedded Options（オプション付き債券の評価と分析）

この単元の要点解説：LM3 オプション付き債券の評価と分析

12. 実効デュレーション

Effective Duration

EffDur = \frac{PV _{-} - PV _{+}}{2 \times Δ Curve \times PV _{0}}

EffDur

実効デュレーション（Effective Duration）

PV_{-}

カーブを下方シフトさせたときの価格（PV = Present Value、現在価値）

PV_{+}

カーブを上方シフトさせたときの価格

PV_{0}

現在価格（シフトなし）

Δ Curve

ベンチマーク・カーブ（Curve）の平行シフト幅（小数）

使いどころ：ベンチマーク・カーブを上下に平行移動させた評価額から、オプション付き債券の金利感応度を求める式。

13. 実効コンベクシティ

Effective Convexity

EffCon = \frac{PV _{-} + PV _{+} - 2 PV _{0}}{( Δ Curve ) ^{2} \times PV _{0}}

EffCon

実効コンベクシティ（Effective Convexity）

PV_{-}, PV_{+}

カーブを下方・上方シフトさせたときの価格（PV = Present Value、現在価値）

PV_{0}

現在価格（シフトなし）

Δ Curve

ベンチマーク・カーブ（Curve）の平行シフト幅（小数）

使いどころ：カーブを上下にシフトさせた評価額から、金利変化に対する価格の曲率を求める式。オプション付き債券の非線形性の把握に使う。

14. キャップ付き・フロア付き変動債の価値

Value of Capped / Floored Floater

V_{capped} = V_{straight} - V_{cap}

V_{floored} = V_{straight} + V_{floor}

V_{capped}, V_{floored}

キャップ付き（capped）・フロア付き（floored）変動利付債の価値

V_{straight}

オプションなし（straight）変動利付債の価値（通常は額面100）

V_{cap}

埋込キャップ（cap）の価値（投資家がショート）

V_{floor}

埋込フロア（floor）の価値（投資家がロング）

使いどころ：キャップ付き・フロア付き変動利付債の価値を、ストレート変動利付債にキャップまたはフロアの価値を加減して求める式。

15. 転換価値(パリティ価値)

Conversion Value (Parity Value)

Conversion value = P_{share} \times Conversion ratio

Conversion value

転換価値（パリティ価値）

P_{share}

原株（share）の市場価格

Conversion ratio

転換比率：社債1本あたり転換される株数

使いどころ：転換社債を直ちに株式に転換した場合の価値を、株価 × 転換比率で求める式。

16. 転換社債の最低価値(フロア)

Minimum (Floor) Value of a Convertible Bond

Minimum value = max (Conversion value, Straight value)

Minimum value

転換社債の最低価値（価値の下限）

Conversion value

転換価値（=株価×転換比率）

Straight value

同条件のオプションなし債券としての価値（ストレート価値。裁定なし枠組で算定）

使いどころ：転換社債の価値の下限を、転換価値とストレート価値のうち大きい方として求める式。

17. 市場転換価格・転換プレミアム率

Market Conversion Price & Premium Ratio

P_{mc} = \frac{P _{CB}}{Conv. ratio}, Prem/share = P_{mc} - P_{share}, Prem ratio = \frac{P _{mc} - P _{share}}{P _{share}}

P_{mc}

市場転換価格（mc = market conversion。実質的な株の取得コスト）

P_{CB}

転換社債（CB = Convertible Bond）の市場価格

Conv. ratio

転換比率（Conversion ratio）：社債1本あたり転換される株数

Prem/share

1株あたり市場転換プレミアム（Premium per share）

P_{share}

現在の原株（share）価格

Prem ratio

市場転換プレミアム率（Premium ratio）

使いどころ：転換社債を通じて株式を取得する場合の実質的な株価と、現在の株価に対する上乗せ分およびその比率を求める式。

LM4 Credit Analysis Models（信用分析モデル）

この単元の要点解説：LM4 信用分析モデル

18. 期待損失・デフォルト時損失・デフォルト確率

Expected Loss, LGD and POD

LGD = Exposure \times (1 - RR)

Expected loss = LGD \times POD

LGD

デフォルト時損失（LGD = Loss Given Default）

Exposure

デフォルト時のエクスポージャー（回収前の損失可能額）

RR

回収率（RR = Recovery Rate）

Expected loss

期待損失

POD

デフォルト確率（POD = Probability of Default。多期間では各期の無条件デフォルト確率を用いる）

使いどころ：エクスポージャー、回収率、デフォルト確率から、デフォルト時損失と各期の期待損失を求める式。

19. 信用評価調整(CVA)と公正価値

Credit Valuation Adjustment & Fair Value

CVA = LGD_{1} \times POD_{1} \times DF_{1} + LGD_{2} \times POD_{2} \times DF_{2} + \dots (満期まで各期を足す)

Fair value = VND - CVA

CVA

信用評価調整（CVA = Credit Valuation Adjustment）：各期の期待損失の現在価値の合計

LGD_{t}

t期のデフォルト時損失（LGD = Loss Given Default）

POD_{t}

t期の（無条件）デフォルト確率（POD = Probability of Default）

DF_{t}

t期の無リスク割引係数（DF = Discount Factor）

Fair value

信用リスクを反映した債券の公正価値

VND

無デフォルト前提の債券価値（VND = Value assuming No Default）

使いどころ：各期の期待損失の現在価値を合計してCVAを求め、リスクのない債券の価値から差し引いて公正価値を得る式。

20. ハザードレートからの生存確率

Probability of Survival from Hazard Rate

POS_{T} = (1 - hazard)^{T}

POD_{t} = hazard \times POS_{t - 1}

POS_{T}

T期まで生存する確率（POS = Probability of Survival）

hazard

1期あたりの条件付きデフォルト率（ハザードレート）

POD_{t}

t期の（無条件）デフォルト確率（POD = Probability of Default）

使いどころ：一定のハザード率から複数期間の生存確率と、各期の無条件のデフォルト確率を求める式。信用評価調整（CVA）の計算に用いる。

21. 信用スプレッドの近似

Credit Spread Approximation

Credit spread \approx POD \times (1 - RR)

(= y_{risky} - y_{riskfree})

Credit spread

信用スプレッド

POD

年間デフォルト確率（POD = Probability of Default。ハザードレート）

RR

回収率（RR = Recovery Rate）

y_{risky}, y_{riskfree}

リスクのある債券・無リスク債の最終利回り（YTM = Yield to Maturity）

使いどころ：デフォルト確率と回収率から信用スプレッドを近似する式。リスクのある債券と無リスク債の利回り差としても定義される。

22. 信用格付移行による期待収益への影響

Expected Return Impact of Credit Migration

E [%Δ P] = Pr (1) \times (- ModDur \times Δ s_{1}) + Pr (2) \times (- ModDur \times Δ s_{2}) + \dots (移行先の格付ごとに足す)

E [%Δ P]

格付移行による債券価格（P）の期待変化率（E[·]は期待値）

Pr (j)

格付jへ移行する確率（遷移行列の該当行）

ModDur

修正デュレーション（Modified Duration）

Δ s_{j}

格付jへの移行に伴うスプレッド変化

使いどころ：格付け推移確率と各格付けのスプレッド変化から、格付け変化による期待価格変化率を求める式。

LM5 Credit Default Swaps（クレジット・デフォルト・スワップ）

この単元の要点解説：LM5 クレジット・デフォルト・スワップ

23. CDSアップフロント・プレミアム

CDS Upfront Premium

Upfront premium \approx (Credit spread - Fixed coupon) \times Duration

Upfront premium

CDS（Credit Default Swap）契約時に授受するアップフロント・プレミアム（名目比）

Credit spread

参照企業の信用スプレッド（CDSスプレッド）

Fixed coupon

CDSの標準クーポン（投資適格（IG）は1%、ハイイールド（HY）は5%）

Duration

CDSの実効デュレーション

使いどころ：CDSスプレッドと標準クーポンの差にデュレーションを掛け、契約開始時のアップフロント・プレミアムを近似する式。

24. アップフロントからのCDS価格

CDS Price from Upfront Premium

Price of CDS = 100 - Upfront premium %

Price of CDS

名目100あたりのCDS（Credit Default Swap）価格

Upfront premium %

名目に対するアップフロント・プレミアム率（≈（スプレッド−クーポン）×デュレーション）

使いどころ：アップフロント・プレミアム（%）を100から差し引き、額面100当たりのCDS価格を求める式。

25. スプレッド変化によるCDS損益

CDS Profit from Spread Change

%Δ Price \approx Δ s_{bps} \times Duration

P/L_{buyer} \approx Δ s_{bps} \times Duration \times Notional

%Δ Price

CDS（Credit Default Swap）価格の変化率

Δ s_{bps}

信用スプレッドの変化（bps = basis points、ベーシスポイント。%表記で用いる）

Duration

CDSのデュレーション

P/L_{buyer}

プロテクションの買い手（buyer）の損益（P/L = Profit and Loss）

Notional

契約の想定元本

使いどころ：契約後のスプレッド変化にデュレーションと想定元本を掛け、CDSポジションの損益を近似する式。

26. CDS決済時のペイアウト額

CDS Payout Amount at Settlement

LGD = 1 - RR

Payout = LGD \times Notional

LGD

デフォルト時損失率（LGD = Loss Given Default。=1−回収率）

RR

回収率（RR = Recovery Rate。オークションで決定、最割安受渡債ベース）

Payout

プロテクションの売り手が支払う決済額

Notional

CDS（Credit Default Swap）の想定元本

使いどころ：クレジット・イベント発生時に、回収率から損失率を求め、想定元本を掛けてプロテクションの売り手の支払額を計算する式。

あわせて使いたいページ

効率よく学ぶには FA-Academy

CFA®︎の協会テキストは英語で分量も多く、用語や公式を英語だけで理解していくのは大きな負担です。

FA-Academy（Financial Analyst Academy）は、日本語で学べる数少ないCFA®︎試験サポートです。これまで Level 1 から Level 3 まで多くの合格者を輩出しており、合格者の方々との対談も数多く公開しています。どんな方が、どのように合格されたのかは合格者対談・合格体験談の一覧からご覧いただけます。