【CFA®︎ L2 Portfolio Construction 公式集】Portfolio Construction の重要公式16本｜記号の意味と使いどころを単元別に整理

CFA®︎ Level 2「Portfolio Construction（ポートフォリオ構築）」の重要公式16本を、学習単元（Learning Module）ごとに整理しました。公式ごとに数式・記号の意味・使いどころをまとめています。数式が横に長い場合は、横にスクロールしてご覧ください。

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単元（LM）一覧

LM2 アクティブ運用の分析 LM3 ETFの仕組みと活用 LM4 マルチファクター・モデルの活用 LM5 市場リスクの測定と管理

Portfolio Construction の重要公式（LM別）

LM2 Analysis of Active Portfolio Management（アクティブ運用の分析）

この単元の要点解説：LM2 アクティブ運用の分析

1. アクティブ・リターン(付加価値)

Active Return (Value Added)

R_{A} = R_{P} - R_{B} = Δ w_{1} R_{1} + Δ w_{2} R_{2} + \dots + Δ w_{N} R_{N}

R_{A}

アクティブ・リターン(付加価値)

R_{P}

運用ポートフォリオのリターン

R_{B}

ベンチマークのリターン

Δ w_{i}

資産iのアクティブ・ウェイト(ポート-ベンチ、i=1〜N)

R_{i}

資産iのリターン

N

資産の数

使いどころ：ポートフォリオとベンチマークのリターン差である付加価値を、アクティブ・ウエイトと各資産のリターンから求める式。

2. 付加価値の分解(資産配分+銘柄選択)

Decomposition of Value Added (Allocation + Selection)

R_{A} = asset allocation Δ w_{1} R_{B, 1} + Δ w_{2} R_{B, 2} + \dots + security selection w_{P, 1} R_{A, 1} + w_{P, 2} R_{A, 2} + \dots

R_{A}

アクティブ・リターン(付加価値)

Δ w_{j}

資産クラスjのアクティブ配分(ポート-政策、j=1,2,…)

R_{B, j}

資産クラスjのベンチマーク・リターン

asset allocation

資産配分効果

w_{P, j}

資産クラスjのポートフォリオ・ウェイト

R_{A, j}

資産クラスj内の銘柄選択による付加価値(R_{P,j}-R_{B,j})

security selection

銘柄選択効果

使いどころ：付加価値を、資産クラス間のアクティブ・ウエイトによる資産配分効果と、各資産クラス内の銘柄選択効果に分解する式。

3. シャープ・レシオ

Sharpe Ratio

SR_{P} = \frac{R _{P} - R _{F}}{σ _{P}}

SR_{P}

ポートフォリオのシャープ・レシオ（SR = Sharpe Ratio）

R_{P}

ポートフォリオのリターン

R_{F}

無リスク金利

σ_{P}

ポートフォリオ・リターンの標準偏差(総リスク)

使いどころ：ポートフォリオの超過リターンを総リスク（標準偏差）で割り、絶対リターンのリスク当たり報酬を測る式。

4. インフォメーション・レシオ(IR)

Information Ratio

IR = \frac{R _{P} - R _{B}}{σ ( R _{P} - R _{B} )} = \frac{R _{A}}{σ _{A}}

IR

インフォメーション・レシオ（Information Ratio）

R_{P}

ポートフォリオのリターン

R_{B}

ベンチマークのリターン

σ (R_{P} - R_{B})

超過リターンの標準偏差

R_{A}

アクティブ・リターン(R_P-R_B)

σ_{A}

アクティブ・リスク(トラッキング・エラー)

使いどころ：アクティブ・リターンをアクティブ・リスクで割り、ベンチマーク対比のリターンのリスク当たり報酬を測る式。

5. シャープ・レシオとIRの関係式

Squared Sharpe Ratio and Information Ratio

SR_{P}^{2} = SR_{B}^{2} + IR^{2}

SR_{P}

アクティブ運用ポートフォリオのシャープ・レシオ（SR = Sharpe Ratio）

SR_{B}

ベンチマークのシャープ・レシオ

IR

アクティブ運用のインフォメーション・レシオ（Information Ratio）

使いどころ：アクティブ・ポートフォリオとベンチマークを最適に組み合わせたときに達成できる最大のシャープ・レシオを求める式。

6. 最適アクティブ・リスク(アグレッシブネス)

Optimal Level of Active Risk

σ (R_{A}) = \frac{IR}{SR _{B}} σ_{B}

σ (R_{A})

最適アクティブ・リスク(R_A = アクティブ・リターン)

IR

アクティブ運用のインフォメーション・レシオ（Information Ratio）

SR_{B}

ベンチマークのシャープ・レシオ（SR = Sharpe Ratio）

σ_{B}

ベンチマーク・リターンの標準偏差

使いどころ：IRとベンチマークのシャープ・レシオ、ベンチマークのリスクから、シャープ・レシオを最大化するアクティブ・リスクの水準を求める式。

7. アクティブ運用の基本ファンダメンタル法則

Basic Fundamental Law of Active Management

E (R_{A})^{*} = IC BR σ_{A}

IR^{*} = IC BR

E (R_{A})^{*}

最適ポートの期待アクティブ・リターン(*は制約なしの最適状態)

IC

情報係数（Information Coefficient：予測と実現の相関、予測スキル）

BR

幅（Breadth：独立した投資判断の数）

σ_{A}

ポートフォリオのアクティブ・リスク

IR^{*}

制約なしの最適ポートのインフォメーション・レシオ（Information Ratio）

使いどころ：制約のない場合に、情報係数、ブレス、アクティブ・リスクから期待アクティブ・リターンとIRを求める式。

8. 拡張ファンダメンタル法則(制約付き)

Expanded (Full) Fundamental Law

E (R_{A}) = TC \cdot IC \cdot BR \cdot σ_{A}

IR = TC \cdot IC \cdot BR

E (R_{A})

期待アクティブ・リターン

TC

移転係数（Transfer Coefficient：予測が実際のウェイトに反映される度合、-1〜1）

IC

情報係数（Information Coefficient。予測スキル）

BR

幅（Breadth：独立した投資判断の数）

σ_{A}

ポートフォリオのアクティブ・リスク

IR

インフォメーション・レシオ（Information Ratio）

使いどころ：ロング・オンリーなどの制約がある場合に、移転係数を加えて期待アクティブ・リターンとIRを求める式。

9. 実現ICに基づく条件付き付加価値

Ex Post (Realized) Value Added Given Realized IC

E (R_{A} ∣ IC_{R}) = TC \cdot IC_{R} \cdot BR \cdot σ_{A}

E (R_{A} ∣ IC_{R})

実現ICを所与とした期待アクティブ・リターン

IC_{R}

実現情報係数（IC = Information Coefficient、R = Realized。その期の実際の予測スキル）

TC

移転係数（Transfer Coefficient）

BR

幅（Breadth：独立した判断の数）

σ_{A}

アクティブ・リスク

使いどころ：実現した情報係数が与えられたときの、その期の期待アクティブ・リターンを求める式。事後的な付加価値の分析に用いる。

10. アクティブ・ウェイトからのアクティブ・リスク

Active Risk from Active Weights (Uncorrelated)

σ_{A} = (Δ w_{1})^{2} σ_{1}^{2} + (Δ w_{2})^{2} σ_{2}^{2} + \dots + (Δ w_{N})^{2} σ_{N}^{2}

σ_{A}

ポートフォリオのアクティブ・リスク

Δ w_{i}

銘柄iのアクティブ・ウェイト(i=1〜N)

σ_{i}

銘柄iのリターンのボラティリティ（標準偏差）

N

銘柄数

使いどころ：各資産のリターンが無相関の場合に、アクティブ・ウエイトと各資産のリスクからアクティブ・リスクを求める式。

LM3 Exchange-Traded Funds: Mechanics and Applications（ETFの仕組みと活用）

この単元の要点解説：LM3 ETFの仕組みと活用

11. ETFの保有期間トータルコスト

ETF Total Holding-Period Cost

Cost = Mgmt fee \times \frac{months}{12} + Round-trip commission + Bid-offer spread

Cost

ETF（上場投資信託、Exchange-Traded Fund）の保有期間トータルコスト

Mgmt fee

年間運用報酬(Management fee。保有期間で按分)

months

保有期間の月数

Round-trip commission

往復売買手数料(片道×2)

Bid-offer spread

購入・売却時のビッド・オファー・スプレッド

使いどころ：運用管理費用の期間按分、往復の売買委託手数料、売買スプレッドを合計し、ETFを一定期間保有する総コストを求める式。

LM4 Using Multifactor Models（マルチファクター・モデルの活用）

この単元の要点解説：LM4 マルチファクター・モデルの活用

12. 裁定価格理論(APT)の期待リターン

Arbitrage Pricing Theory (APT) Expected Return

E (R_{i}) = R_{F} + β_{i, 1} λ_{1} + β_{i, 2} λ_{2} + \dots + β_{i, K} λ_{K}

E (R_{i})

資産iの期待リターン

R_{F}

無リスク金利

β_{i, k}

資産iのファクターkへの感応度(k=1〜K)

λ_{k}

ファクターkのリスク・プレミアム(ファクター価格)

K

ファクターの数

使いどころ：リスクフリー・レートに各ファクターの感応度とリスク・プレミアムの積を加え、資産の期待リターンを求める式。

13. カーハート4ファクター・モデル(均衡期待リターン)

Carhart Four-Factor Model (Equilibrium Return)

E (R_{p}) = R_{F} + β_{p, 1} RMRF + β_{p, 2} SMB + β_{p, 3} HML + β_{p, 4} WML

E (R_{p})

ポートフォリオpの期待リターン

R_{F}

無リスク金利

β_{p, k}

ポートの各ファクター感応度(k=1〜4)

RMRF

市場超過リターン（R_M − R_F：市場リターン−無リスク金利）

SMB

サイズ・ファクター（Small Minus Big：小型-大型）

HML

バリュー・ファクター（High Minus Low：簿価時価比B/Mの高-低）

WML

モメンタム・ファクター（Winners Minus Losers：勝者-敗者）

使いどころ：市場、規模、バリュー、モメンタムの4ファクターへの感応度から、株式ポートフォリオの期待リターンを求める式。

14. アクティブ・リターンの分解(ファクター傾斜+銘柄選択)

Active Return Decomposition (Factor Tilts + Selection)

R_{A} = (β_{p, 1} - β_{b, 1}) F_{1} + (β_{p, 2} - β_{b, 2}) F_{2} + \dots + (β_{p, K} - β_{b, K}) F_{K} + Security Selection

R_{A}

アクティブ・リターン

β_{p, k} - β_{b, k}

ファクターkへのアクティブ感応度(傾斜)(p=ポートフォリオ、b=ベンチマーク)

F_{k}

ファクターkのリターン(k=1〜K)

K

ファクターの数

Security Selection

銘柄選択による寄与(残差)

使いどころ：アクティブ・リターンを、ファクター感応度の差による寄与と銘柄選択による寄与に分解する式。リターン・アトリビューションに用いる。

15. アクティブ・リスク二乗の分解

Active Risk Squared Decomposition

s^{2} (R_{p} - R_{B}) = Active Factor Risk + (w_{1}^{a})^{2} σ_{ε 1}^{2} + (w_{2}^{a})^{2} σ_{ε 2}^{2} + \dots Active Specific Risk

s^{2} (R_{p} - R_{B})

アクティブ・リスク二乗(トラッキング・エラーの分散。R_p=ポートフォリオ、R_B=ベンチマークのリターン)

Active Factor Risk

アクティブ・ファクター・リスク：ファクター感応度の差から生じるリスク

Active Specific Risk

アクティブ固有リスク：個別銘柄の固有リスクから生じるリスク

w_{i}^{a}

銘柄iのアクティブ・ウェイト

σ_{ε i}^{2}

銘柄iの残差(固有)分散

使いどころ：アクティブ・リスクの2乗を、アクティブ・ファクター・リスクとアクティブ固有リスクに分解する式。リスクの源泉の分析に用いる。

LM5 Measuring and Managing Market Risk（市場リスクの測定と管理）

この単元の要点解説：LM5 市場リスクの測定と管理

16. パラメトリックVaR(分散共分散法)

Parametric (Variance-Covariance) VaR

VaR = [z \cdot σ_{p} - E (R_{p})] \times V

VaR

バリュー・アット・リスク（Value at Risk）：所定の確率で生じうる最大損失額

z

信頼水準の標準偏差数(5%→1.65、1%→2.33)

σ_{p}

期間当たりポートフォリオ標準偏差

E (R_{p})

期間当たり期待リターン

V

ポートフォリオ価値

使いどころ：正規分布を仮定し、期待リターンと標準偏差からポートフォリオのVaRを求める式。パラメトリック法による推定で用いる。

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