制約なし非線形最適化の最適性条件とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

制約がない最適化では、最適点で1階微分（多変数なら勾配）がゼロになります（1階の条件＝必要条件）。
2階微分が正なら極小、負なら極大で、多変数ではヘッセ行列の符号（正定値・負定値）で判定します（2階の条件）。
目的関数が凸（凹）なら、1階の条件を満たす点がそのまま最小（最大）になります。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「制約なし非線形最適化の条件」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(9) 最適化手法
協会の学習ポイント	制約条件のない非線形最適化問題の最適性条件について理解する。

制約なし非線形最適化の最適性条件とは

変数の値を自由に選べる（制約条件がない）状況で、非線形の目的関数を最大化・最小化する問題を考えます。答えは、グラフの山の頂上や谷の底に当たる点です。

1階の条件（必要条件）

山の頂上や谷の底では、接線が水平になるので f′(x)＝0 です。多変数関数f(x₁, …, x_n)なら、すべての変数について偏微分が0、つまり偏微分を並べた勾配ベクトルがゼロになります。これを満たす点を停留点といいます。ただし、停留点は最大・最小の候補にすぎず、極大でも極小でもない点（鞍点など）も含まれます。

2階の条件（十分条件）

停留点で f′′(x)＞0 なら下に凸なので極小、f′′(x)＜0 なら上に凸なので極大です。多変数では、2階偏微分を並べたヘッセ行列を使い、それが正定値なら極小、負定値なら極大と判定します。2変数の場合、f_xxf_yy－f_xy²＞0 かつ f_xx＞0 なら極小、f_xx＜0 なら極大、f_xxf_yy－f_xy²＜0 なら鞍点です。

局所最適と大域最適

1階・2階の条件で分かるのは、近くの点と比べた局所的な最大・最小です。ただし、目的関数が全体として凸関数（最小化の場合）なら、停留点は大域的な最小点になります。ポートフォリオの分散のように、凸な2次関数を最小化する問題では、1階の条件を解くだけで答えが得られます。

押さえておきたい公式

1階の条件：f′(x^*) ＝ 0　（多変数：∂f/∂x_i ＝ 0、i ＝ 1, …, n）最適点であるための必要条件

2階の条件：f′′(x^*) ＞ 0 → 極小　　f′′(x^*) ＜ 0 → 極大多変数ではヘッセ行列が正定値なら極小、負定値なら極大

2変数：f_xx f_yy － f_xy² ＞ 0 かつ f_xx ＞ 0 → 極小f_xx＜0なら極大、f_xxf_yy－f_xy²＜0なら鞍点

具体例で確認

資産1（標準偏差20％）と資産2（標準偏差10％）、相関係数0.2の2資産で、分散が最小になる資産1の比率wを求めます（残り1－wは資産2、空売りは制限しない）。

分散：V(w) ＝ w²×0.04 ＋ (1－w)²×0.01 ＋ 2w(1－w)×0.2×0.2×0.1
1階の条件：V′(w) ＝ 0 を解くと w^* ＝ (σ₂² － ρσ₁σ₂) ÷ (σ₁² ＋ σ₂² － 2ρσ₁σ₂) ＝ (0.01 － 0.004) ÷ (0.04 ＋ 0.01 － 0.008) ＝ 0.006 ÷ 0.042 ≒ 0.143
2階の条件：V′′(w) ＝ 2 × 0.042 ＝ 0.084 ＞ 0 なので極小（分散は凸関数なので大域的な最小）
このときの分散は約0.00914、標準偏差は約9.56％