分散の2次形式w’Σwとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

複数の確率変数をベクトルXにまとめると、期待値はベクトルμ、分散と共分散は分散共分散行列Σで表せます。
ウェイトwのポートフォリオの期待リターンはw’μ、分散は2次形式 w’Σwという短い式で書けます。
銘柄数がいくつになっても同じ式で表せるのが、ベクトル表記の最大のメリットです。

この記事では、証券アナリスト2次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「期待値・分散の2次形式表記」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次市場と経済の分析／数量分析と確率・統計
大分類	(10) ベクトルと行列
協会の学習ポイント	複数の確率変数の期待値、分散、共分散についてベクトルの2次形式で表記できる。

期待値・分散の2次形式表記とは

n銘柄のリターンを R₁, …, R_n とし、これを列ベクトル R ＝ (R₁, …, R_n)’ にまとめます。各銘柄の期待リターンを並べたものが期待値ベクトルμ、i行j列に R_iとR_jの共分散σ_ij（対角成分は分散σ_i²）を並べたものが分散共分散行列Σです。Σは σ_ij ＝ σ_ji なので対称行列になります。

ポートフォリオの期待値と分散

投資比率のベクトルを w ＝ (w₁, …, w_n)’ とすると、ポートフォリオのリターンは R_p ＝ w’R です。期待値の線形性から E[R_p] ＝ w’μ、分散は Var(R_p) ＝ w’Σw となります。w’Σw のように、ベクトルで行列を両側から挟んだ形を2次形式といいます。

2次形式を展開すると ΣΣw_iw_jσ_ij（すべてのi、jの組み合わせの和）となり、2資産なら w₁²σ₁² ＋ w₂²σ₂² ＋ 2w₁w₂σ₁₂ という、1次試験でもおなじみの式に一致します。共分散の項が「2倍」になるのは、σ₁₂とσ₂₁の2か所に同じ値があるためです。

2つのポートフォリオの共分散

ウェイトがwとvの2つのポートフォリオの共分散は Cov(w’R, v’R) ＝ w’Σv と表せます。分散は、この式でv ＝ wとした特別な場合です。また、分散はマイナスにならないので、どんなwに対しても w’Σw ≧ 0（Σは半正定値）が成り立ちます。

押さえておきたい公式

E[w’R] ＝ w’μポートフォリオの期待リターン（内積）

Var(w’R) ＝ w’Σw ＝ Σ_iΣ_j w_iw_jσ_ijポートフォリオの分散（2次形式）

Cov(w’R, v’R) ＝ w’Σv2つのポートフォリオの共分散

記号	意味
R、μ	リターンのベクトルと期待値ベクトル
Σ	分散共分散行列（対称行列）
σ_ij	i銘柄とj銘柄の共分散（i ＝ j なら分散）
w、v	ウェイト（投資比率）のベクトル

具体例で確認

資産1：期待リターン8％、標準偏差20％。資産2：期待リターン4％、標準偏差10％。相関係数0.5。ウェイト w ＝ (0.6, 0.4)’ とします。

共分散：σ₁₂ ＝ 0.5 × 0.20 × 0.10 ＝ 0.01。Σ ＝ [[0.04, 0.01], [0.01, 0.01]]
期待リターン：w’μ ＝ 0.6 × 8％＋ 0.4 × 4％＝ 6.4％
Σw ＝ (0.04×0.6 ＋ 0.01×0.4, 0.01×0.6 ＋ 0.01×0.4)’ ＝ (0.028, 0.010)’
分散：w’Σw ＝ 0.6×0.028 ＋ 0.4×0.010 ＝ 0.0208（展開形 0.36×0.04 ＋ 0.16×0.01 ＋ 2×0.24×0.01 ＝ 0.0208 と一致）
標準偏差：√0.0208 ≒ 14.42％

別のポートフォリオ v ＝ (0.2, 0.8)’ との共分散は、Σv ＝ (0.016, 0.010)’ より w’Σv ＝ 0.6×0.016 ＋ 0.4×0.010 ＝ 0.0136 です。

試験で問われやすいポイント