最小分散ポートフォリオの行列表記とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・数量分析と確率・統計

この記事では、証券アナリスト2次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「ポートフォリオへの応用」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

ベクトル・行列のポートフォリオへの応用とは

平均分散アプローチでは、ポートフォリオを「期待リターン」と「リスク（分散）」の2つで評価します。n銘柄のポートフォリオでは、ウェイトのベクトルw、期待リターンのベクトルμ、分散共分散行列Σを使って、期待リターンを w’μ、分散を w’Σw と書けます。銘柄数が2でも100でも、式の形は変わりません。

最小分散ポートフォリオの導出

すべての成分が1のベクトル1 ＝ (1, …, 1)’ を使うと、「ウェイトの合計が1」という制約は w’1 ＝ 1 と書けます。この制約のもとで w’Σw を最小化するため、ラグランジュ関数 L ＝ w’Σw − λ(w’1 − 1) をwで微分して0とおくと、2Σw ＝ λ1 です。両辺に左からΣ⁻¹を掛けて w ＝ (λ/2)Σ⁻¹1 とし、合計が1になるよう定数を決めると、w ＝ Σ⁻¹1 ÷ (1’Σ⁻¹1) が得られます。このときの分散は 1 ÷ (1’Σ⁻¹1) です。

そのほかの応用

目標とする期待リターンの制約 w’μ ＝ μ_p を加えれば、同じ手順で効率的フロンティア上のポートフォリオが求まります。無リスク資産がある場合の接点ポートフォリオは、Σ⁻¹(μ − r_f1) に比例するウェイトになります。さらに、各資産と市場ポートフォリオの共分散 Σw_m を市場分散 w_m‘Σw_m で割るとベータのベクトルになるなど、CAPMやリスク寄与度の分析にも行列表記が使われます。

押さえておきたい公式

具体例で確認

資産1の分散0.04（標準偏差20％）、資産2の分散0.09（標準偏差30％）、共分散0.01とします。Σ ＝ [[0.04, 0.01], [0.01, 0.09]]。

1. 行列式：0.04×0.09 − 0.01×0.01 ＝ 0.0035
2. 逆行列：Σ⁻¹ ＝ (1/0.0035) × [[0.09, −0.01], [−0.01, 0.04]]
3. Σ⁻¹1 ＝ (1/0.0035) × (0.09 − 0.01, −0.01 ＋ 0.04)’ ＝ (1/0.0035) × (0.08, 0.03)’
4. 基準化：w₁ ＝ 0.08 ÷ (0.08 ＋ 0.03) ＝ 8/11 ≒ 72.7％、w₂ ＝ 3/11 ≒ 27.3％
5. 分散：1’Σ⁻¹1 ＝ 0.11 ÷ 0.0035 ≒ 31.43 より、σ² ≒ 1 ÷ 31.43 ≒ 0.0318、標準偏差 ≒ 17.84％

どちらの資産単独（20％、30％）よりもリスクが低くなっており、分散投資の効果が確認できます。

要点まとめ

• 期待リターンはw’μ、分散はw’Σw、予算制約はw’1＝1と書ける
• 最小分散ポートフォリオはw＝Σ⁻¹1÷(1’Σ⁻¹1)、分散は1÷(1’Σ⁻¹1)
• 接点ポートフォリオはΣ⁻¹(μ−r_f1)に比例する
• 2次形式・ベクトルの微分・逆行列が組み合わさる総合論点

証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。

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※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。