固有値と固有ベクトルとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

行列Aを掛けても向きが変わらず、長さだけがλ倍になるベクトルxを固有ベクトル、その倍率λを固有値といいます（Ax ＝ λx）。
固有値は固有方程式 det(A − λI) ＝ 0を解いて求め、2×2行列なら2次方程式になります。
主成分分析や分散共分散行列の分解など、2次の多変量解析の土台となる計算です。

この記事では、証券アナリスト2次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「固有値と固有ベクトル」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次市場と経済の分析／数量分析と確率・統計
大分類	(10) ベクトルと行列
協会の学習ポイント	2×2行列の固有方程式から固有値や固有ベクトルを計算できる。

固有値と固有ベクトルとは

一般に、ベクトルに行列を掛けると、長さも向きも変わります。ところが行列ごとに、掛けても向きが変わらない（同じ直線上にとどまる）特別な方向があります。その方向のベクトルxを固有ベクトル、伸び縮みの倍率λを固有値といい、Ax ＝ λx（x ≠ 0）と表します。

固有方程式の導き方

Ax ＝ λx を移項すると (A − λI)x ＝ 0 です。ここで、もし A − λI に逆行列があれば、両辺に掛けて x ＝ 0 しか解がなくなってしまいます。x ≠ 0 の解が存在するためには、A − λI に逆行列がない、つまりdet(A − λI) ＝ 0でなければなりません。これが固有方程式（特性方程式）です。

固有ベクトルは「方向」だけが決まる

固有値λを求めたら、(A − λI)x ＝ 0 に代入して固有ベクトルを求めます。このとき、x がこの式を満たせば 2x や −x も満たすため、固有ベクトルは方向（成分の比）だけが決まり、大きさは任意です。そこで、長さが1になるように割って正規化しておくのが一般的です。主成分分析では、この正規化した固有ベクトルが主成分のウェイトになります。

知っておくと便利な性質

2×2行列では、固有値の和は対角成分の和（トレース）、固有値の積は行列式に等しくなります。また、分散共分散行列のような対称行列の固有値はすべて実数で、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交します。

押さえておきたい公式

Ax ＝ λx　（x ≠ 0）固有値λと固有ベクトルxの定義

det(A − λI) ＝ 0固有方程式。A ＝ [[a, b], [c, d]] なら (a − λ)(d − λ) − bc ＝ 0

λ₁ ＋ λ₂ ＝ a ＋ d　　λ₁ × λ₂ ＝ ad − bc和はトレース、積は行列式（検算に便利）

記号	意味
λ	固有値（伸び縮みの倍率）
x	固有ベクトル（向きが変わらない方向）
I	単位行列

具体例で確認

A ＝ [[2, 1], [1, 2]] の固有値と固有ベクトルを求めます。

固有方程式：(2 − λ)(2 − λ) − 1×1 ＝ 0 → λ² − 4λ ＋ 3 ＝ 0 → (λ − 3)(λ − 1) ＝ 0
固有値：λ₁ ＝ 3、λ₂ ＝ 1（検算：和4＝トレース2＋2、積3＝行列式4−1）
λ₁ ＝ 3 のとき：(2 − 3)x₁ ＋ x₂ ＝ 0 より x₂ ＝ x₁。固有ベクトルは (1, 1)’、正規化すると (1/√2, 1/√2)’
λ₂ ＝ 1 のとき：(2 − 1)x₁ ＋ x₂ ＝ 0 より x₂ ＝ −x₁。固有ベクトルは (1, −1)’、正規化すると (1/√2, −1/√2)’
確認：A(1, 1)’ ＝ (3, 3)’ ＝ 3 × (1, 1)’。2つの固有ベクトルの内積は 1 − 1 ＝ 0 で直交しています。