実績データからの平均・分散の推定とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・ポートフォリオ・マネジメント
ひとことで言うと
- 過去のリターンのデータ（実績データ）から、平均・分散・標準偏差・共分散・相関係数を計算し、将来の期待リターンやリスクの推定値として使います。
- 手順は「平均を求める → 平均からの偏差を求める → 偏差の2乗や積を合計して割る」です。
- 標本から推定する分散・共分散では、データ数nではなくn−1で割るのが一般的です。
この記事では、証券アナリスト1次「ポートフォリオ・マネジメント」の学習ポイントのひとつ「実績データからの推定」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅰ／ポートフォリオ・マネジメント |
|---|---|
| 大分類 | (1) 現代ポートフォリオ理論 |
| 協会の学習ポイント | 実績データに基づくリターンの平均、分散、相関係数の算出方法を理解する。 |
実績データからの平均・分散の推定とは
ポートフォリオの期待リターンやリスクを計算するには、各資産の期待リターン、分散、資産間の相関係数が必要です。しかし、これらは直接観察できません。そこで、過去の一定期間のリターン（実績データ）から統計量を計算し、将来の値の推定値として用いるのが基本的な方法です。
計算の手順
- 平均：各期のリターンを合計してデータ数nで割ります（算術平均）。
- 偏差：各期のリターンから平均を引きます。
- 分散：偏差の2乗を合計し、n−1で割ります。標準偏差はその平方根です。
- 共分散：2資産の偏差の積を合計し、n−1で割ります。
- 相関係数：共分散を2資産の標準偏差の積で割ります。
n−1で割る理由
手元のデータは、将来も含めた母集団からの「標本」にすぎません。標本の平均を使って偏差を計算すると、ばらつきがやや小さめに出るため、nではなくn−1で割ることで偏りのない推定値（不偏分散）にします。問題文で「nで割る」と指定されることもあるので、指示に従いましょう。データ数が多ければ両者の差は小さくなります。
実績データを使うときの注意
過去の実績がそのまま将来も続くとは限りません。推定に使う期間の長さや、景気局面の偏りによって推定値は大きく変わります。特に平均リターンは推定誤差が大きいことが知られており、実務では経済見通しなども組み合わせて期待リターンを見積もります。また、月次データから年率に直すときは、平均は12倍、分散も12倍（標準偏差は√12倍）にするのが一般的な近似です。
押さえておきたい公式
具体例で確認
資産Aと資産Bの5年間のリターンが次のとおりだったとします。
| 年 | A | B | Aの偏差 | Bの偏差 | 偏差の積 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10％ | 6％ | 0.04 | 0.02 | 0.0008 |
| 2 | −5％ | 1％ | −0.11 | −0.03 | 0.0033 |
| 3 | 15％ | 9％ | 0.09 | 0.05 | 0.0045 |
| 4 | 2％ | −2％ | −0.04 | −0.06 | 0.0024 |
| 5 | 8％ | 6％ | 0.02 | 0.02 | 0.0004 |
- 平均：A ＝ 30％ ÷ 5 ＝ 6％、B ＝ 20％ ÷ 5 ＝ 4％
- 分散：Aの偏差の2乗の合計は0.0238なので 0.0238 ÷ 4 ＝ 0.00595（標準偏差 約7.71％）。Bは0.0078 ÷ 4 ＝ 0.00195（標準偏差 約4.42％）
- 共分散：偏差の積の合計0.0114 ÷ 4 ＝ 0.00285
- 相関係数：0.00285 ÷ (0.0771 × 0.0442) ≒ 0.84
AとBは同じ方向に動きやすい（強い正の相関がある）ことがわかります。
試験で問われやすいポイント
- 計算手順（平均→偏差→2乗・積の合計→割り算）を正確にたどれるか。偏差の2乗を忘れる、平方根を取り忘れるミスが典型です。
- n−1で割る（不偏推定）か、nで割るか。問題文の指示を必ず確認しましょう。
- 相関係数＝共分散÷（標準偏差×標準偏差）。分散で割ってしまう誤りに注意します。
- ％のままか小数か、単位をそろえて計算すること。
- 過去データによる推定には誤差があり、特に平均リターンの推定は不安定であるという留意点。
要点まとめ
- 実績データから平均・分散・共分散・相関係数を計算して推定値にする。
- 分散・共分散は偏差の2乗や積の合計をn−1で割るのが一般的。
- 相関係数は共分散を両者の標準偏差の積で割って求める。
- 過去の値が将来も続くとは限らない点に注意する。
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
