ポートフォリオの期待リターンと分散とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・ポートフォリオ・マネジメント｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

ポートフォリオの期待リターンは、各資産の期待リターンを投資比率で加重平均したものです。
ポートフォリオの分散は、各資産の分散だけでなく、資産どうしの共分散の項も含めて計算します。
そのため、ポートフォリオの標準偏差は、ふつう各資産の標準偏差の加重平均より小さくなります。

この記事では、証券アナリスト1次「ポートフォリオ・マネジメント」の学習ポイントのひとつ「ポートフォリオの期待値と分散」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅰ／ポートフォリオ・マネジメント
大分類	(1) 現代ポートフォリオ理論
協会の学習ポイント	ポートフォリオ・リターンの期待値とその分散（および標準偏差）について理解する。

ポートフォリオの期待リターンと分散とは

ポートフォリオとは、複数の資産を組み合わせたものです。ポートフォリオ理論では、組み合わせた全体の期待リターンとリスク（分散・標準偏差）を、個々の資産の情報から計算します。ここで扱う計算は、後の効率的フロンティアやCAPMの土台になる最重要の論点です。

期待リターンは単純な加重平均

ポートフォリオの期待リターンは、各資産の期待リターンに投資比率（ウェイト）を掛けて合計したものです。投資比率は合計が1（100％）になるように決めます。期待リターンについては、組み合わせても「足し算以上・以下」の効果は生じません。

なお、個々の資産の期待リターン自体は、将来の景気などのシナリオごとのリターンに発生確率を掛けて合計する方法で求めることもあります。

分散には共分散が入る

一方、ポートフォリオの分散は単純な加重平均にはなりません。2資産の場合、「資産1の分散×比率の2乗」「資産2の分散×比率の2乗」に加えて、「2×比率×比率×共分散」の項が入ります。共分散は、2つの資産のリターンが同じ方向に動くか、逆方向に動くかを表す指標で、相関係数と各資産の標準偏差の積で表せます。

相関係数が1より小さければ、一方が下がるときに他方がそれほど下がらない（または上がる）ことで値動きが一部打ち消し合い、ポートフォリオのリスクは個別資産のリスクの加重平均より小さくなります。これが分散投資の効果です。資産の数が増えると、分散の計算では個々の分散よりも共分散の項の数が圧倒的に多くなり、ポートフォリオのリスクは主に資産間の共分散で決まるようになります。

押さえておきたい公式

E(R_P) ＝ w₁E(R₁) ＋ w₂E(R₂)ポートフォリオの期待リターン（w₁ ＋ w₂ ＝ 1）

σ_P² ＝ w₁²σ₁² ＋ w₂²σ₂² ＋ 2w₁w₂σ₁₂2資産ポートフォリオの分散。標準偏差σ_Pはこの平方根

σ₁₂ ＝ ρ₁₂ × σ₁ × σ₂共分散＝相関係数 × 標準偏差 × 標準偏差

記号	意味
w_i	資産iへの投資比率
σ_i	資産iの標準偏差
σ₁₂	資産1と資産2の共分散
ρ₁₂	資産1と資産2の相関係数（−1〜＋1）

具体例で確認

資産A（期待リターン8％、標準偏差15％）に60％、資産B（期待リターン12％、標準偏差25％）に40％投資し、両者の相関係数を0.3とします。

期待リターン：0.6 × 8％＋ 0.4 × 12％＝ 9.6％
共分散：0.3 × 0.15 × 0.25 ＝ 0.01125
分散：0.6² × 0.15² ＋ 0.4² × 0.25² ＋ 2 × 0.6 × 0.4 × 0.01125
＝ 0.0081 ＋ 0.0100 ＋ 0.0054 ＝ 0.0235
標準偏差：√0.0235 ≒ 15.33％