最小分散ポートフォリオと効率的フロンティアとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・ポートフォリオ・マネジメント｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

最小分散ポートフォリオは、リスク資産の組み合わせのうち、分散（リスク）が最も小さくなるポートフォリオです。
効率的フロンティアは、同じリスクなら期待リターンが最も高いポートフォリオを結んだ線で、最小分散ポートフォリオより上側の部分です。
リスク回避的な投資家は、効率的フロンティア上のポートフォリオの中から投資先を選びます。

この記事では、証券アナリスト1次「ポートフォリオ・マネジメント」の学習ポイントのひとつ「最小分散と効率的フロンティア」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅰ／ポートフォリオ・マネジメント
大分類	(1) 現代ポートフォリオ理論
協会の学習ポイント	最小分散ポートフォリオと効率的フロンティアについて理解する。

最小分散ポートフォリオと効率的フロンティアとは

複数のリスク資産の投資比率をさまざまに変えると、期待リターンと標準偏差の組み合わせが無数にできます。縦軸に期待リターン、横軸に標準偏差をとってこれらを描くと、左側に膨らんだ弾丸のような形の領域（投資機会集合）になります。その左端の境界線を最小分散境界（最小分散フロンティア）といい、各期待リターンの水準でリスクが最小になるポートフォリオを結んだ線です。

最小分散ポートフォリオ

最小分散境界のうち、最も左にある点、つまり全体のなかでリスクが最も小さいポートフォリオが最小分散ポートフォリオ（MVP）です。2資産の場合、分散を投資比率で微分してゼロとおくことで、最小分散となる比率を公式で求められます。相関係数が1未満であれば、MVPのリスクは低リスクの資産単独よりも小さくなることがよくあります。

効率的フロンティア

最小分散境界のうち、MVPより下側の部分は、同じリスクでより高い期待リターンが得られるポートフォリオ（上側の点）が存在するため、合理的な投資家は選びません。MVPより上側の部分だけが、「同じリスクなら期待リターンが最大」「同じ期待リターンならリスクが最小」という条件を満たします。この部分を効率的フロンティアといい、そこにあるポートフォリオを効率的ポートフォリオと呼びます。

効率的フロンティアは、資産の期待リターン、分散、相関係数が決まれば、投資家の好みとは関係なく客観的に決まります。どの点を選ぶかは、次の段階で投資家のリスク回避度（無差別曲線）によって決まります。

押さえておきたい公式

w₁ ＝ (σ₂² − σ₁₂) ÷ (σ₁² ＋ σ₂² − 2σ₁₂)2資産の最小分散ポートフォリオにおける資産1の比率（w₂ ＝ 1 − w₁、空売りなしなら0〜1の範囲で考える）

記号	意味
σ₁²、σ₂²	資産1、資産2の分散
σ₁₂	資産1と資産2の共分散（ρσ₁σ₂）

具体例で確認

資産A（期待リターン8％、標準偏差15％）と資産B（期待リターン12％、標準偏差25％）、相関係数0.3の2資産を考えます。共分散は 0.3 × 0.15 × 0.25 ＝ 0.01125 です。

Aの比率：(0.0625 − 0.01125) ÷ (0.0225 ＋ 0.0625 − 0.0225) ＝ 0.05125 ÷ 0.0625 ＝ 82％（Bは18％）
期待リターン：0.82 × 8％＋ 0.18 × 12％＝ 8.72％
標準偏差：約14.31％

Aの比率	期待リターン	標準偏差	評価
100％	8.00％	15.00％	非効率（MVPのほうがリスクが低くリターンが高い）
82％（MVP）	8.72％	14.31％	リスク最小
60％	9.60％	15.33％	効率的
0％	12.00％	25.00％	効率的