分位数とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

分位数とは、データを小さい順に並べ、指定した割合の位置で区切る値のことです。
4等分する値を四分位数（第1四分位数Q₁・中央値Q₂・第3四分位数Q₃）、100等分する値をパーセンタイルといいます。
Q₃ − Q₁の四分位範囲は、外れ値に強い散らばりの指標として使われます。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「分位数」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(3) 統計の基礎
協会の学習ポイント	分位数について理解しデータから計算ができる。

分位数とは

分位数（クォンタイル）は、データを小さい順に並べたとき、「下から○％の位置にある値」を表します。たとえば中央値は、下から50％の位置にある値なので、50％分位数（50パーセンタイル）です。

四分位数

データを4つに等分する3つの値を四分位数といいます。下から25％の位置が第1四分位数（Q₁）、50％が第2四分位数（中央値）、75％が第3四分位数（Q₃）です。Q₁からQ₃の間には、データの真ん中の約半分が入ります。

四分位範囲と箱ひげ図

四分位範囲（IQR）＝Q₃ − Q₁は、真ん中50％のデータがどのくらいの幅に散らばっているかを表します。最大値・最小値を使う範囲（レンジ）と違って、外れ値の影響を受けにくいのが特徴です。最小値・Q₁・中央値・Q₃・最大値の5つの値を図にしたものが箱ひげ図です。

パーセンタイルとファイナンス

分位数はファイナンスでもよく使われます。代表例がVaR（バリュー・アット・リスク）で、たとえば「損益分布の下側5％点（5パーセンタイル）」がどこかを表します。また、ファンドの成績を同じ種類のファンドの中で順位づけするときにも、パーセンタイルが使われます。

計算方法は1つではない

データ数が少ないとき、分位数の位置がデータとデータの間になることがあります。そのときの求め方（間の値を比例配分する、下半分・上半分の中央値をとる、など）にはいくつかの流儀があり、方法によって答えが少し変わります。試験では問題文で示された方法に従いましょう。ここでは、位置を「1 ＋ (n − 1) × p 番目」とし、間は比例配分する方法で説明します。

押さえておきたい公式

pパーセンタイルの位置＝ 1 ＋ (n − 1) × p 番目小さい順に並べたn個のデータで、位置が整数でなければ前後の値を比例配分（方法の一例）

四分位範囲 IQR ＝ Q₃ − Q₁

具体例で確認

9個のデータ {3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 20}（小さい順）について計算します。

Q₁：位置 1 ＋ 8 × 0.25 ＝ 3番目 → 6
中央値：位置 1 ＋ 8 × 0.5 ＝ 5番目 → 9
Q₃：位置 1 ＋ 8 × 0.75 ＝ 7番目 → 12
四分位範囲：12 − 6 ＝ 6
90パーセンタイル：位置 1 ＋ 8 × 0.9 ＝ 8.2番目 → 8番目の15と9番目の20の間を0.2だけ進んだ点：15 ＋ 0.2 × (20 − 15) ＝ 16

なお、「中央値を除いた下半分・上半分の中央値」をとる方法では、Q₁＝(5＋6)÷2＝5.5、Q₃＝(12＋15)÷2＝13.5となります。方法によって値が変わることを実感しておきましょう。