微分の演算法則（積・商・合成関数）とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 和・差・定数倍はそれぞれ微分して足し引きすればよく、積は(fg)′＝f′g＋fg′、商は(f/g)′＝(f′g－fg′)/g2です。
- 関数の中に関数がある合成関数は、「外側の微分×内側の微分」で求めます（チェーンルール）。
- 債券価格を利回りで微分してデュレーションを求める場面などで使います。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「微分の演算法則」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (8) 微分の基礎 |
| 協会の学習ポイント | 微分の演算法則（関数の和、積、商や合成関数）を理解し計算できる。 |
微分の演算法則（積・商・合成関数）とは
代表的な関数の微分形を覚えたら、次はそれらを組み合わせた関数を微分するためのルール（演算法則）を身につけます。実際の問題に出てくる関数の多くは、べき関数・指数関数・対数関数の和、積、商、あるいは「関数の中に関数が入った」合成関数の形をしています。
和・差・定数倍
{f(x)＋g(x)}′＝f′(x)＋g′(x)、{c f(x)}′＝c f′(x)のように、項ごとに微分して足し合わせ、定数倍はそのまま前に残します。多項式の微分はこのルールと(xn)′＝nxn－1の組み合わせです。
積と商
積の微分は「片方ずつ微分して足す」形で、(fg)′＝f′g＋fg′です。f′g′としてしまうのは典型的な誤りです。商の微分は(f/g)′＝(f′g－fg′)/g2で、分子の引き算の順番（先にf′g）に注意します。
合成関数（チェーンルール）
y＝f(u)、u＝g(x)のように、xからuを作り、uからyを作る関数を合成関数といいます。このとき dy/dx ＝ (dy/du)×(du/dx) が成り立ちます。「外側を微分して、内側の微分を掛ける」と覚えましょう。たとえば(1＋y)－nをyで微分すると、外側のu－nの微分－nu－n－1に、内側(1＋y)の微分1を掛けて、－n(1＋y)－n－1になります。
押さえておきたい公式
| 例 | 微分の結果 |
|---|---|
| x2ex（積） | 2xex ＋ x2ex |
| x ÷ (1＋x)（商） | 1 ÷ (1＋x)2 |
| (2x＋1)3（合成） | 3(2x＋1)2×2 ＝ 6(2x＋1)2 |
| log(1＋r)（合成） | 1 ÷ (1＋r) |
具体例で確認
額面100円、残存5年の割引債（ゼロクーポン債）の価格は、年1回複利の利回りyを使ってP(y)＝100÷(1＋y)5＝100(1＋y)－5と表せます。y＝4％のときの価格の感応度を求めます。
- 価格：P ＝ 100 ÷ 1.045 ≒ 82.19円
- チェーンルールで微分：P′(y) ＝ 100 × (－5)(1＋y)－6 ＝ －500 ÷ (1＋y)6
- y＝0.04を代入：P′ ＝ －500 ÷ 1.046 ≒ －395.16
- 修正デュレーション：－P′ ÷ P ＝ 5 ÷ 1.04 ≒ 4.81
利回りが1％ポイント（0.01）上がると、価格はおよそ395.16×0.01≒3.95円、率にして約4.81％下がると見積もれます。
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「代表的な関数の微分形について理解する」）。
試験で問われやすいポイント
- 積の微分(fg)′＝f′g＋fg′を、f′g′と誤る選択肢がひっかけとして出やすいです。
- 商の微分は分子の引き算の順番（f′g－fg′）と分母のg2を正確に覚えましょう。
- 合成関数の微分で、内側の微分を掛け忘れるミスが狙われやすいです。
- 債券価格を利回りで微分してデュレーションを求めるなど、ファイナンスの式への応用が問われやすいです。
- 負の指数(1＋y)－nの形に書き直してから微分すると計算ミスが減ります。
要点まとめ
- 和・差・定数倍は項ごとに微分する
- 積は f′g＋fg′、商は (f′g－fg′)/g2
- 合成関数は「外側の微分×内側の微分」
- 債券価格の利回り感応度（デュレーション）の計算に直結する
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
