2期間二項モデルとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・デリバティブ分析｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

2期間二項モデルは、株価が1期ごとに「上昇」か「下落」の2通りに動くと考え、それを2期間くり返してオプション価格を求めるモデルです。
まずリスク中立確率 q ＝ (1＋r − d) ÷ (u − d) を求めます。
満期のペイオフをqで期待値にし、無リスク金利で1期ずつ割り引いて満期から現在へ逆算します。

この記事では、証券アナリスト1次「デリバティブ分析」の学習ポイントのひとつ「2期間二項モデル」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅰ／デリバティブ分析
大分類	(3) オプション取引の仕組みと評価
協会の学習ポイント	2期間二項モデルによるリスク中立確率やオプション価格決定の仕組みを理解する。

2期間二項モデルとは

二項モデルは、株価の動きを「u倍に上がる」か「d倍に下がる」かの2通りに単純化したモデルです。単純ですが、期間を細かく分けていくと現実的な株価の動きに近づき、オプション評価の考え方を学ぶ基本になります。

複製と無裁定から価格が決まる

1期間だけを見ると、株式と安全資産（借入・運用）を適切な比率で組み合わせれば、上昇時・下落時のどちらでもオプションと同じ受取額になるポートフォリオを作れます（複製ポートフォリオ）。同じ受取額なら同じ価格でなければ裁定が起きるので、オプション価格は複製ポートフォリオのコストに等しくなります。

リスク中立確率

この複製の結果を整理すると、オプション価格は「ペイオフをある確率qで加重平均し、無リスク金利で割り引いたもの」と同じ形になります。このqをリスク中立確率と呼びます。qは株価が実際に上がる確率ではなく、投資家のリスク選好にも依存しません。「すべての資産の期待リターンが無リスク金利になる」とみなした仮想的な確率です。

2期間の計算手順

2期間では、株価は満期に「上・上」「上・下（または下・上）」「下・下」の3通りになります。①満期の各ノードでペイオフを計算、②1期後の各ノードでq加重平均して1期分割り引く、③同じことを現在まで繰り返す、という後ろ向き（バックワード）の手順で価格を求めます。

押さえておきたい公式

q ＝ (1 ＋ r − d) ÷ (u − d)リスク中立確率（rは1期間の無リスク金利）。d ＜ 1＋r ＜ u が前提

f ＝ [q × f_u ＋ (1 − q) × f_d] ÷ (1 ＋ r)1期分さかのぼる計算。これを満期から現在までくり返す

f₀ ＝ [q² f_uu ＋ 2q(1 − q) f_ud ＋ (1 − q)² f_dd] ÷ (1 ＋ r)²ヨーロピアン・オプションなら、2期間分を一度に計算してもよい

記号	意味
u, d	1期間の株価の上昇倍率・下落倍率
q	リスク中立確率（上昇側）
f_uu, f_ud, f_dd	満期の各ノードでのオプションのペイオフ

具体例で確認

株価100円、u＝1.1、d＝0.9、1期間の金利2％、行使価格100円、2期間のヨーロピアン・コールを評価します。

リスク中立確率：q ＝ (1.02 − 0.9) ÷ (1.1 − 0.9) ＝ 0.6
満期の株価とペイオフ：121円→21円、99円→0円、81円→0円
1期後（株価110円）：(0.6 × 21 ＋ 0.4 × 0) ÷ 1.02 ≒ 12.353円、1期後（株価90円）：0円
現在：(0.6 × 12.353 ＋ 0.4 × 0) ÷ 1.02 ≒ 7.27円

一度に計算しても、0.6² × 21 ÷ 1.02² ≒ 7.27円と同じ値になります。同じ条件のプット（満期ペイオフ0円・1円・19円）を同様に計算すると約3.38円で、7.27 ＋ 100 ÷ 1.02² ≒ 3.38 ＋ 100 となり、プット・コール・パリティも成り立っていることが確認できます。

試験で問われやすいポイント