同時確率分布と周辺分布とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 2つの確率変数X、Yの値の組み合わせごとに確率を割り当てたものを同時確率分布（結合分布）といいます。
- 同時分布から一方の変数について確率を合計すると、その変数だけの分布である周辺分布が得られます。
- 同時分布からは、条件付き分布・独立かどうか・共分散や相関係数もわかります。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「2つの確率変数の確率分布」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (4) 確率変数 |
| 協会の学習ポイント | 確率変数が2つある場合の確率分布について理解する。 |
同時確率分布と周辺分布とは
同時確率分布
株式Aのリターンと株式Bのリターンのように、2つの確率変数を同時に考えたいことはよくあります。X＝x、Y＝yとなる確率P(X＝x, Y＝y)を、すべての組み合わせについて示したものが同時確率分布です。離散型なら、行にXの値、列にYの値をとった表で表すのが一般的で、表の中の確率をすべて足すと1になります。
周辺分布
同時分布の表で、ある行の確率を横に合計するとP(X＝x)が得られます。Yがどんな値でもよいとして足し合わせたもので、これをXの周辺分布といいます。同様に列ごとに縦に合計するとYの周辺分布になります。表の余白（周辺）に書くことからこう呼ばれます。周辺分布から、それぞれの期待値や分散を計算できます。
条件付き分布と独立
同時確率を周辺確率で割ると、条件付き分布P(Y＝y|X＝x)が得られます。すべての組み合わせでP(X＝x, Y＝y)＝P(X＝x)×P(Y＝y)が成り立つとき、XとYは独立です。1つでも成り立たない組み合わせがあれば独立ではありません。
共分散との関係
同時分布を使えば、積XYの期待値E(XY)を計算でき、共分散はCov(X, Y)＝E(XY)−E(X)E(Y)で求められます。XとYが独立なら共分散は0になります。ただし、共分散が0でも独立とは限らない点に注意が必要です（相関は直線的な関係しかとらえないため）。
押さえておきたい公式
具体例で確認
株式Aが上昇したらX＝1、下落したらX＝0、株式Bについても同様にYを定めます。同時分布は次のとおりです。
| Y＝1（B上昇） | Y＝0（B下落） | Xの周辺分布 | |
|---|---|---|---|
| X＝1（A上昇） | 0.4 | 0.2 | 0.6 |
| X＝0（A下落） | 0.1 | 0.3 | 0.4 |
| Yの周辺分布 | 0.5 | 0.5 | 1.0 |
- 周辺分布：P(X＝1)＝0.4＋0.2＝0.6、P(Y＝1)＝0.4＋0.1＝0.5
- 条件付き確率：Aが上昇したときBも上昇する確率は0.4÷0.6≒0.667
- 独立の判定：P(X＝1)×P(Y＝1)＝0.3で、同時確率0.4と異なるので独立ではない
- 共分散：E(XY)＝1×1×0.4＝0.4なので、Cov＝0.4−0.6×0.5＝0.1
- 相関係数：V(X)＝0.6×0.4＝0.24、V(Y)＝0.5×0.5＝0.25より、0.1÷√(0.24×0.25)≒0.41
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「確率変数の期待値・標準偏差・相関係数・条件付き期待値・2変数の確率分布を理解し、ポートフォリオに応用できる」）。
試験で問われやすいポイント
- 同時分布の表から周辺分布（行・列の合計）を求める計算。
- 条件付き確率は同時確率を周辺確率で割って求めること。
- 独立の判定は、すべてのマスで「同時確率＝周辺確率の積」が成り立つかで行うこと。
- 共分散＝E(XY)−E(X)E(Y)の使い方と、「共分散0なら独立」は一般には誤りであること。
要点まとめ
- 同時分布は2つの確率変数の値の組み合わせごとの確率。
- 周辺分布は同時分布を一方の変数について合計したもの。
- 独立ならすべての組み合わせで同時確率＝周辺確率の積。
- 同時分布から共分散・相関係数を計算できる。
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
