対数正規分布とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

確率変数Xの対数ln Xが正規分布に従うとき、Xは対数正規分布に従うといいます。
値は常に正で、右に長い裾をもつ（右に歪んだ）分布になります。
ファイナンスでは「連続複利の収益率（対数収益率）が正規分布、株価は対数正規分布」というモデルがよく使われます。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「対数正規分布とファイナンス」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(5) 確率分布
協会の学習ポイント	対数正規分布について理解し、ファイナンスへの応用について理解する。

対数正規分布とは

対数正規分布は、ある確率変数Xの自然対数ln Xが正規分布に従うときの、X自体の分布です。Xはe（ネイピア数）の正規分布乗の形をしているので、0より大きい値しかとりません。分布の形は左右対称ではなく、右側に長く裾を引く「右に歪んだ」形になります。

なぜ株価のモデルに使われるのか

株価を正規分布でモデル化すると、確率は小さくても株価がマイナスになる可能性が生じてしまいます。株式会社の株主は有限責任なので、株価が0を下回ることはありません。そこで、株価そのものではなく対数収益率 ln(S_T ÷ S₀)が正規分布に従うと仮定します。すると株価S_T ＝ S₀ × e^{(対数収益率)}は常に正となり、対数正規分布に従います。

また、対数収益率には複数期間の収益率を足し算で合成できるという便利な性質があります。各期の対数収益率が独立な正規分布に従えば、その合計も正規分布になり、長期の株価も対数正規分布で表せます。オプション評価で使われるブラック・ショールズ・モデルも、株価が対数正規分布に従うという前提に立っています。

平均と中央値の関係

対数正規分布は右に歪んでいるため、平均＞中央値となります。ln Xの平均がμ、分散がσ²のとき、Xの中央値はe^μですが、平均はe^μ＋σ²/2と、σ²/2の分だけ大きくなります。ボラティリティが大きいほど、平均と中央値の差は広がります。

押さえておきたい公式

ln X 〜 N(μ, σ²) のとき X は対数正規分布X ＝ e^Y（Yは正規分布）と表せる

E[X] ＝ e^{μ ＋ σ²/2}　　中央値＝ e^μ平均は中央値より大きい

S_T ＝ S₀ × e^r　　r ＝ ln(S_T ÷ S₀)rは連続複利（対数）収益率

記号	意味
μ、σ²	ln Xの平均と分散（X自体の平均・分散ではない）
S₀、S_T	現在と時点Tの株価
r	対数収益率（正規分布に従うと仮定）

具体例で確認

現在100円の株式の1年間の対数収益率rが、平均8％・標準偏差20％の正規分布に従うとします。

1年後の株価の中央値：100 × e^0.08 ≒ 108.33円
1年後の株価の平均：100 × e^{0.08 ＋ 0.2²/2} ＝ 100 × e^0.10 ≒ 110.52円
1年後に100円を下回る確率：r ＜ 0となる確率なので、Z ＝ (0 − 0.08) ÷ 0.20 ＝ −0.4、P ＝ 1 − Φ(0.4) ≒ 約34.5％

平均（110.52円）が中央値（108.33円）より大きく、分布が右に歪んでいることが確認できます。