期待値・標準偏差・相関係数とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

期待値は「値×確率」の合計で求める平均的な結果、標準偏差は期待値からのばらつき（リスク）の大きさです。
相関係数は2つの確率変数の連動性を−1〜＋1で表したもので、これらを使って2資産ポートフォリオの期待リターンとリスクを計算します。
相関が低いほどポートフォリオのリスクは小さくなり、これが分散投資の効果です。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「期待値・標準偏差・相関とポートフォリオ」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(4) 確率変数
協会の学習ポイント	確率変数の期待値や標準偏差、相関係数が計算でき、ポートフォリオに応用できる。

期待値・標準偏差・相関係数とは

期待値と標準偏差

確率変数Xがとりうる値x_iと、その確率p_iがわかっているとき、期待値E(X)は「x_i×p_i」をすべて足したものです。ファイナンスでは期待リターンにあたります。分散は、各値の期待値からの差（偏差）を2乗し、確率で重み付けして合計したもので、その平方根が標準偏差です。標準偏差はリターンと同じ単位（％）になるため、リスクの尺度として使われます。

共分散と相関係数

2つの確率変数X、Yの連動性を表すのが共分散で、「Xの偏差×Yの偏差」を確率で重み付けして合計します。同じ方向に動きやすければプラス、逆方向ならマイナスです。共分散は単位や大きさに左右されるため、2つの標準偏差の積で割って−1〜＋1に標準化したものが相関係数です。＋1は完全に同じ方向、−1は完全に逆方向、0は直線的な関係がないことを表します。

ポートフォリオへの応用

資産Aに比率w、資産Bに比率1−wを投資するポートフォリオの期待リターンは、各資産の期待リターンの加重平均です。一方、分散は各資産の分散だけでなく共分散の項を含みます。相関係数が＋1未満であれば、ポートフォリオの標準偏差は各資産の標準偏差の加重平均より小さくなります。これが分散投資の効果です。

押さえておきたい公式

E(X) ＝ Σ p_i x_i、　σ² ＝ Σ p_i (x_i − E(X))²標準偏差σは分散の平方根

Cov(X, Y) ＝ Σ p_i (x_i − E(X))(y_i − E(Y))、　ρ ＝ Cov(X, Y) ÷ (σ_X σ_Y)相関係数ρは−1以上＋1以下

E(R_P) ＝ w E(R_A) ＋ (1 − w) E(R_B)ポートフォリオの期待リターン

σ_P² ＝ w²σ_A² ＋ (1 − w)²σ_B² ＋ 2w(1 − w)ρσ_Aσ_Bρσ_Aσ_Bは共分散Cov(R_A, R_B)

具体例で確認

景気のシナリオごとの資産A・Bのリターンが次のようになっているとします。

シナリオ	確率	資産A	資産B
好況	0.3	20％	2％
普通	0.4	10％	6％
不況	0.3	−5％	10％

期待値：E(A)＝0.3×20＋0.4×10＋0.3×(−5)＝8.5％、E(B)＝0.3×2＋0.4×6＋0.3×10＝6.0％
分散：σ_A²＝0.3×11.5²＋0.4×1.5²＋0.3×(−13.5)²＝95.25 → σ_A≒9.76％。σ_B²＝0.3×(−4)²＋0.4×0²＋0.3×4²＝9.6 → σ_B≒3.10％
共分散：0.3×11.5×(−4)＋0.4×1.5×0＋0.3×(−13.5)×4＝−30
相関係数：−30÷(9.76×3.10)≒−0.99（ほぼ逆方向に動く）
A・Bに50％ずつ投資：期待リターン＝0.5×8.5＋0.5×6.0＝7.25％。分散＝0.25×95.25＋0.25×9.6＋2×0.25×(−30)＝11.2125 → 標準偏差≒3.35％