ベクトルの微分とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

ベクトルの微分とは、関数を各成分で偏微分した結果を、1本のベクトルとして並べて書く表記法です。
重要な公式は ∂(a’x)/∂x ＝ a と、対称行列Aについての ∂(x’Ax)/∂x ＝ 2Ax の2つです。
ポートフォリオ分散 w’Σw の最小化など、最適化問題を簡潔に解くために使います。

この記事では、証券アナリスト2次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「ベクトルの微分」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次市場と経済の分析／数量分析と確率・統計
大分類	(10) ベクトルと行列
協会の学習ポイント	関数を成分とするベクトルの微分表記、簡単な関数の計算ができる。

ベクトルの微分とは

ポートフォリオの分散 f(w) ＝ w’Σw は、ウェイト w₁, …, w_n という複数の変数の関数です。このような関数の最小値や最大値を探すには、各変数で偏微分して0とおくのが基本です。ベクトルの微分は、このn個の偏微分を縦に並べて1本のベクトル（勾配ベクトル）として書く方法です。

∂f/∂w ＝ (∂f/∂w₁, ∂f/∂w₂, …, ∂f/∂w_n)’ と定義すると、「すべての偏微分が0」という条件を ∂f/∂w ＝ 0（ゼロベクトル）と1本の式で書けます。

1次式（内積）の微分

f(x) ＝ a’x ＝ a₁x₁ ＋ … ＋ a_nx_n をx_iで偏微分するとa_iです。これを並べると ∂(a’x)/∂x ＝ a となり、1変数の「(ax)’ ＝ a」とそっくりの形になります。ポートフォリオの期待リターンw’μをwで微分すればμです。

2次形式の微分

f(x) ＝ x’Ax の微分は一般に (A ＋ A’)x ですが、Aが対称行列（A’ ＝ A）なら ∂(x’Ax)/∂x ＝ 2Ax となります。1変数の「(ax²)’ ＝ 2ax」に対応する形です。分散共分散行列Σは対称なので、∂(w’Σw)/∂w ＝ 2Σw が成り立ちます。

最適化への使い方

たとえば「w’1 ＝ 1（ウェイトの合計が1）のもとで w’Σw を最小化する」問題は、ラグランジュ関数 L ＝ w’Σw − λ(w’1 − 1) をwで微分して0とおき、2Σw − λ1 ＝ 0 という条件を得ます。これを解くと最小分散ポートフォリオが求まります。また、ポートフォリオ標準偏差σ_pをwで微分した Σw ÷ σ_p は、各資産の限界リスク寄与として使われます。

押さえておきたい公式

∂f/∂x ＝ (∂f/∂x₁, …, ∂f/∂x_n)’ベクトルによる微分の定義（勾配ベクトル）

∂(a’x)/∂x ＝ ∂(x’a)/∂x ＝ a1次式（内積）の微分

∂(x’Ax)/∂x ＝ (A ＋ A’)x ＝ 2Ax2次形式の微分（2Axになるのは A が対称行列のとき）

記号	意味
x、w	変数ベクトル（ウェイトなど）
a	定数ベクトル
A、Σ	定数行列（Σは対称な分散共分散行列）

具体例で確認

Σ ＝ [[0.04, 0.01], [0.01, 0.01]]、w ＝ (0.6, 0.4)’ のとき、f(w) ＝ w’Σw の微分を求めます。

公式で計算：2Σw ＝ 2 × (0.04×0.6 ＋ 0.01×0.4, 0.01×0.6 ＋ 0.01×0.4)’ ＝ 2 × (0.028, 0.010)’ ＝ (0.056, 0.020)’
展開して確認：f ＝ 0.04w₁² ＋ 0.02w₁w₂ ＋ 0.01w₂²
∂f/∂w₁ ＝ 0.08w₁ ＋ 0.02w₂ ＝ 0.048 ＋ 0.008 ＝ 0.056
∂f/∂w₂ ＝ 0.02w₁ ＋ 0.02w₂ ＝ 0.012 ＋ 0.008 ＝ 0.020