回帰係数のt検定とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

単回帰の仮説検定では、推定した傾きb̂が偶然ではなく、母集団の傾きbがゼロでないといえるかをt検定で調べます。
検定統計量はt ＝（b̂ − b₀）÷ SE(b̂)で、自由度n−2のt分布に従います。
b＝0が棄却されれば、「XはYの説明に役立っている（統計的に有意）」と判断します。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「単回帰の仮説検定」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(7) 回帰分析（単回帰）
協会の学習ポイント	単回帰分析における仮説検定について理解する。

単回帰の仮説検定とは

最小二乗法で求めた切片â や傾きb̂は、手元の標本から計算した推定値です。別の期間のデータを使えば、違う値になるでしょう。つまり推定値にはばらつきがあり、b̂がゼロでなくても、真の傾きbはゼロ（XとYは無関係）かもしれません。そこで、推定値のばらつきの大きさである標準誤差SE(b̂)を基準にして、b̂がゼロから十分に離れているかを検定します。

検定の手順

最も基本的なのは、H₀：b＝0、H₁：b≠0という両側検定です。誤差項が互いに独立で、平均0・分散一定の正規分布に従うという前提のもとで、t ＝ b̂ ÷ SE(b̂)は自由度n−2のt分布に従います。|t|が臨界値を超えればH₀を棄却し、傾きは有意と判断します。目安として、標本が大きく有意水準5％の両側検定なら、|t|がおおむね2を超えると有意になります。

ゼロ以外の値との比較

帰無仮説の値はゼロに限りません。たとえば、マーケット・モデルで推定したベータが「1と異なるか」を調べたければ、H₀：b＝1とし、t ＝（b̂ − 1）÷ SE(b̂)を計算します。切片についても同様に、â ÷ SE(â)でゼロかどうかを検定できます。

他の検定との関係

単回帰では、傾きがゼロかどうかのt検定は、無相関検定や分散分析のF検定と同じ結論になり、F ＝ t²が成り立ちます。

押さえておきたい公式

t ＝ (b̂ − b₀) ÷ SE(b̂)自由度n−2のt分布に従う（b₀は帰無仮説の値、通常は0）

SE(b̂) ＝ s ÷ √S_xx　　s ＝ √(SSE ÷ (n − 2))sは回帰の標準誤差、S_xxはXの偏差平方和

記号	意味
b̂	傾きの推定値
SE(b̂)	傾きの推定値の標準誤差
SSE	残差の二乗和
n − 2	自由度（切片と傾きの2つを推定する分だけ減る）

具体例で確認

例1：ベータの検定

ある銘柄の月次リターンを市場リターンで回帰し（n＝62か月）、傾き（ベータ）1.3、その標準誤差0.25を得ました。自由度60のt分布の両側5％臨界値は約2.000です。

H₀：b＝0の検定：t ＝ 1.3 ÷ 0.25 ＝ 5.2 ＞ 2.000 → 棄却。市場リターンは銘柄のリターンの説明に役立っている。
H₀：b＝1の検定：t ＝ (1.3 − 1) ÷ 0.25 ＝ 1.2 ＜ 2.000 → 棄却できない。ベータが1と異なるとまではいえない。

例2：データから標準誤差を求める

データ（X, Y）＝(1, 2)、(2, 4)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 5)では、b̂ ＝ 0.6、SSE ＝ 2.4、S_xx ＝ 10でした。s ＝ √(2.4 ÷ 3) ≒ 0.894、SE(b̂) ＝ 0.894 ÷ √10 ≒ 0.283、t ＝ 0.6 ÷ 0.283 ≒ 2.12です。自由度3の臨界値（約3.182）を下回るため、5％水準では有意といえません。