二項分布と二項ツリーとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

二項分布は、「成功か失敗か」の2通りしかない試行を独立にn回繰り返したときの、成功回数の分布です。
二項ツリーは、株価が1期ごとに一定の率で「上がるか下がるか」を繰り返すと考えて、将来の価格の分布を表すモデルです。
n期後の価格は上昇回数で決まり、その確率は二項分布で計算できます。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「二項分布と二項ツリー」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(5) 確率分布
協会の学習ポイント	二項分布について理解し、二項ツリーでの資産価格の簡単なモデル化ができる。

二項分布と二項ツリーとは

二項分布

1回の試行で「成功」する確率がp、「失敗」する確率が1−pで、各回の結果が互いに独立な試行（ベルヌーイ試行）をn回繰り返すとします。このとき成功回数Xが従う分布を二項分布B(n, p)といいます。ちょうどk回成功する確率は、「k回成功・n−k回失敗の並び方の数」×「その1通りが起こる確率」で求めます。並び方の数は組合せ_nC_kです。

二項分布の期待値はnp、分散はnp(1−p)です。たとえばコインを10回投げたときの表の回数は、B(10, 0.5)に従い、期待値は5回です。

二項ツリーによる資産価格のモデル化

株価Sが1期ごとに、確率pで上昇率u倍、確率1−pでd倍になると考えます（u＞1＞d）。この動きを枝分かれの図で表したものが二項ツリーです。上昇→下落と下落→上昇は同じ価格（S×u×d）にたどり着くため、ツリーは枝が合流する形（リコンバイニング）になり、n期後にとりうる価格はn＋1通りに限られます。

n期後にk回上昇していれば、価格はS×u^k×d^n−kです。上昇回数kは二項分布B(n, p)に従うので、各価格が実現する確率は二項分布の確率そのものになります。二項ツリーは、デリバティブ分析で学ぶオプション価格の計算（二項モデル）の土台にもなっています。

押さえておきたい公式

P(X ＝ k) ＝ _nC_k p^k (1 − p)^{n − k}_nC_k ＝ n! ÷ {k!(n − k)!}

E(X) ＝ np、　V(X) ＝ np(1 − p)二項分布の期待値と分散

S_n ＝ S₀ × u^k × d^{n − k}n期中k回上昇したときの価格

具体例で確認

現在の株価100円、1期ごとに確率0.6で10％上昇（u＝1.1）、確率0.4で10％下落（d＝0.9）するとします。3期後の株価の分布は次のとおりです。

上昇回数k	3期後の株価	確率
3	100×1.1³＝133.1円	1×0.6³＝0.216
2	100×1.1²×0.9＝108.9円	3×0.6²×0.4＝0.432
1	100×1.1×0.9²＝89.1円	3×0.6×0.4²＝0.288
0	100×0.9³＝72.9円	1×0.4³＝0.064

確率の合計：0.216＋0.432＋0.288＋0.064＝1
3期後の株価の期待値：133.1×0.216＋108.9×0.432＋89.1×0.288＋72.9×0.064≒106.12円（＝100×(0.6×1.1＋0.4×0.9)³＝100×1.02³）
3期後に100円を上回る確率：k≧2なので0.216＋0.432＝0.648
上昇回数の期待値：np＝3×0.6＝1.8回、分散：3×0.6×0.4＝0.72

上昇と下落を1回ずつ経験すると100×1.1×0.9＝99円となり、元の100円には戻らない点も確認しておきましょう。