【CFA®︎ L1 Derivatives 公式集】Derivatives の重要公式22本｜記号の意味と使いどころを単元別に整理

CFA®︎ Level 1「Derivatives（デリバティブ）」の重要公式22本を、学習単元（Learning Module）ごとに整理しました。公式ごとに数式・記号の意味・使いどころをまとめています。数式が横に長い場合は、横にスクロールしてご覧ください。

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単元（LM）一覧

LM2 先渡・先物型と条件付請求権型の商品 LM4 裁定・複製・キャリーコストによる価格決定 LM5 フォワードの価格と価値（満期の異なる原資産を含む）LM6 先物の価格と価値 LM7 金利スワップ等の価格と価値 LM8 オプションの価格と価値 LM9 プット・コール・パリティによるオプションの複製 LM10 1期間二項モデルによるデリバティブ評価

Derivatives の重要公式（LM別）

LM2 Forward Commitment and Contingent Claim Features and Instruments（先渡・先物型と条件付請求権型の商品）

この単元の要点解説：LM2 先渡・先物型と条件付請求権型の商品

1. コールオプションの満期ペイオフと損益

Call Option Payoff and Profit at Expiration

c_{T} = max (0, S_{T} - X)

Π = max (0, S_{T} - X) - c_{0}

c_{T}

満期時点Tのコール価値（ペイオフ）

S_{T}

満期時点の原資産価格

X

行使価格（ストライク）

Π

コールの買い手（ロング）の損益

c_{0}

契約時に支払ったコール・プレミアム

使いどころ：コール・オプションの満期時のペイオフと、支払ったプレミアムを差し引いたロング・ポジションの損益を求める式。

2. プットオプションの満期ペイオフと損益

Put Option Payoff and Profit at Expiration

p_{T} = max (0, X - S_{T})

Π = max (0, X - S_{T}) - p_{0}

p_{T}

満期時点Tのプット価値（ペイオフ）

X

行使価格（ストライク）

S_{T}

満期時点の原資産価格

Π

プットの買い手（ロング）の損益

p_{0}

契約時に支払ったプット・プレミアム

使いどころ：プット・オプションの満期時のペイオフと、支払ったプレミアムを差し引いたロング・ポジションの損益を求める式。

LM4 Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives（裁定・複製・キャリーコストによる価格決定）

この単元の要点解説：LM4 裁定・複製・キャリーコストによる価格決定

3. 無裁定フォワード/先物価格(キャリーなし)

No-Arbitrage Forward/Futures Price (No Carry)

F_{0} (T) = S_{0} (1 + r)^{T}

F_{0} (T)

時点0で決まる満期Tの無裁定フォワード（先渡）・先物価格

S_{0}

現在のスポット価格

r

無リスク金利（年率）

T

満期までの年数

使いどころ：保有に伴うコストや便益がない原資産について、スポット価格を無リスク金利で複利運用して無裁定のフォワード価格（先物価格）を求める式。

4. キャリーコストを含むフォワード/先物価格

Forward/Futures Price with Cost of Carry

F_{0} (T) = [S_{0} - PV_{0} (I) + PV_{0} (C)] (1 + r)^{T}

F_{0} (T)

時点0で決まる満期Tの無裁定フォワード・先物価格

S_{0}

現在のスポット価格

PV_{0} (I)

保有便益I（配当・利息など）の時点0の現在価値（PV = Present Value）

PV_{0} (C)

保有コストC（保管料・保険料など）の時点0の現在価値

r

無リスク金利（年率）

T

満期までの年数

使いどころ：配当・利息などの便益や保管料・保険料などのコストがある原資産について、それらの現在価値でスポット価格を調整して無裁定のフォワード価格を求める式。

5. FXフォワードレート(カバー付き金利平価)

FX Forward Rate (Covered Interest Rate Parity)

F_{0, f / d} (T) = S_{0, f / d} e^{(r_{f} - r_{d}) T}

F_{0, f / d} (T)

時点0で決まる満期Tの為替フォワード・レート（f/d 表示）

S_{0, f / d}

現在のスポット為替レート（基準通貨d 1単位あたりの価格通貨fの量）

e

自然対数の底（連続複利）

r_{f}

価格通貨f（外貨）の無リスク金利（連続複利）

r_{d}

基準通貨d（自国通貨）の無リスク金利（連続複利）

T

満期までの年数

使いどころ：2通貨の無リスク金利差から為替のフォワード・レートを求める式（カバー付き金利平価）。金利差がキャリーコストに相当する。

LM5 Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying Maturities（フォワードの価格と価値（満期の異なる原資産を含む））

この単元の要点解説：LM5 フォワードの価格と価値（満期の異なる原資産を含む）

6. フォワード・先物の満期決済額(ペイオフ)

Forward/Futures Settlement Value at Maturity

V_{T} (T) = S_{T} - F_{0} (T) (long)

V_{T} (T) = F_{0} (T) - S_{T} (short)

V_{T} (T)

満期時点Tにおける満期Tの契約の価値（＝決済額）

S_{T}

満期時点の原資産スポット価格

F_{0} (T)

契約時（時点0）に合意したフォワード・先物価格

long, short

買い手（ロング）・売り手（ショート）の場合

使いどころ：フォワードや先物の満期時の価値（現金決済額）を、満期時のスポット価格と契約価格の差から求める式。ショートはロングの符号を反転させる。

7. 存続期間中のフォワード契約価値(MTM)

Value of a Forward Contract during Its Life

V_{t} (T) = S_{t} - F_{0} (T) (1 + r)^{- (T - t)}

V_{t} (T)

時点tにおけるロングの契約価値（ショートは符号反転）

S_{t}

時点tのスポット価格

F_{0} (T)

契約時（時点0）に固定したフォワード価格

r

無リスク金利（年率）

T, t

満期・現在の時点（T−t は残存年数）

使いどころ：満期前の時点で、フォワード契約の値洗い価値を、現在のスポット価格とフォワード価格の現在価値の差から求める式。

8. 存続期間中のFXフォワード価値(MTM)

Value of an FX Forward during Its Life

V_{t} (T) = S_{t, f / d} - F_{0, f / d} (T) e^{- (r_{f} - r_{d}) (T - t)}

V_{t} (T)

時点tにおけるロングの契約価値

S_{t, f / d}

時点tのスポット為替レート（基準通貨d 1単位あたりの価格通貨f）

F_{0, f / d} (T)

契約時（時点0）に固定したフォワード・レート

e

自然対数の底（連続複利）

r_{f}, r_{d}

価格通貨f（外貨）・基準通貨d（自国通貨）の現時点の無リスク金利

T, t

満期・現在の時点（T−t は残存年数）

使いどころ：満期前の時点で、為替フォワードの値洗い価値を、現在のスポット・レートと当初フォワード・レートを金利差で調整した値の差から求める式。

9. ゼロ(スポット)レートからの含意フォワードレート

Implied Forward Rate from Spot (Zero) Rates

(1 + z_{A})^{A} (1 + IFR_{A, B - A})^{B - A} = (1 + z_{B})^{B}

z_{A}

満期Aのゼロ（スポット）レート

A, B

短い方・長い方の満期（期間数、B > A）

IFR_{A, B - A}

A期後スタート・(B−A)期間のインプライド・フォワード・レート（IFR = Implied Forward Rate）

z_{B}

満期Bのゼロ（スポット）レート

使いどころ：2つの満期のゼロ・レートから、将来の特定期間に適用されるインプライド・フォワード・レートを求める式。金利先渡契約（FRA）や金利スワップの価格決定の基礎となる。

LM6 Pricing and Valuation of Futures Contracts（先物の価格と価値）

この単元の要点解説：LM6 先物の価格と価値

10. 金利先物の価格コンベンション(100−利回り)

Interest Rate Futures Price Convention

f_{A, B - A} = 100 - (100 \times MRR_{A, B - A})

f_{A, B - A}

A期後に始まる(B−A)期間の金利に対する先物価格

A, B

金利期間の開始時点・終了時点

MRR_{A, B - A}

含意される市場参照金利（MRR = Market Reference Rate）

使いどころ：短期金利先物の価格を市場参照金利（MRR）から求める、または先物価格から含意される金利を逆算する際の価格表示の慣行。

11. 金利先物のベーシスポイント・バリュー(BPV)

Interest Rate Futures Basis Point Value (BPV)

Futures BPV = Notional \times 0.01% \times Period

Futures BPV

金利先物のベーシス・ポイント・バリュー（BPV = Basis Point Value）

Notional

想定元本

0.01%

1ベーシス・ポイント（＝0.0001）

Period

金利期間（年換算。例：四半期＝1/4、1か月＝1/12）

使いどころ：金利先物で金利が1ベーシス・ポイント変化したときの契約価値の変化額（BPV）を、想定元本と期間から求める式。

LM7 Pricing and Valuation of Interest Rate and Other Swaps（金利スワップ等の価格と価値）

この単元の要点解説：LM7 金利スワップ等の価格と価値

12. パー・スワップレート(固定=変動のPV一致)

Par Swap Rate (PV Fixed = PV Floating)

\frac{IFR _{1}}{( 1 + z _{1} )} + \frac{IFR _{2}}{( 1 + z _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{IFR _{N}}{( 1 + z _{N} ) ^{N}} = \frac{s _{N}}{( 1 + z _{1} )} + \frac{s _{N}}{( 1 + z _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{s _{N}}{( 1 + z _{N} ) ^{N}}

IFR_{1}, \dots, IFR_{N}

第1期…第N期のインプライド・フォワード・レート（IFR = Implied Forward Rate。変動脚の想定）

z_{1}, \dots, z_{N}

第1期…第N期のゼロ・レート（割引率）

N

スワップの期数

s_{N}

N期スワップの固定レート（求める値）

使いどころ：固定側の支払いと、インプライド・フォワード・レートに基づく変動側の支払いの現在価値を等しくする固定金利（パー・スワップ・レート）を求める式。

13. スワップの各期ネット決済額(固定払い側)

Swap Periodic Net Settlement (Fixed-Rate Payer)

Net_{fixed payer} = (MRR - s) \times Notional \times Period

Net_{fixed payer}

固定金利支払者（fixed payer）が受け取るネット決済額（負なら支払い）

MRR

当期にセットされた市場参照金利（MRR = Market Reference Rate）

s

固定スワップ・レート

Notional

想定元本

Period

決済期間（年。例：四半期＝0.25）

使いどころ：金利スワップの各決済日に、固定金利支払者が受け払いするネット決済額を、市場参照金利と固定金利の差・想定元本・期間から求める式。

LM8 Pricing and Valuation of Options（オプションの価格と価値）

この単元の要点解説：LM8 オプションの価格と価値

14. コールの行使価値(本源的価値)と時間価値

Call Option Exercise Value and Time Value

Exercise = max (0, S_{t} - X (1 + r)^{- (T - t)}), Time = c_{t} - Exercise

Exercise

コールの行使価値（Exercise Value、本源的価値）

S_{t}

時点tの原資産価格

X

行使価格

r

無リスク金利（年率）

T, t

満期・現在の時点（T−t は残存年数）

X (1 + r)^{- (T - t)}

行使価格の現在価値 PV(X)

Time

時間価値（Time Value）

c_{t}

時点tのコール価格（市場価格）

使いどころ：満期前のコールについて、行使価格の現在価値を用いた行使価値と、オプション価格から行使価値を差し引いた時間価値を求める式。

15. プットの行使価値(本源的価値)

Put Option Exercise Value

Put Exercise Value = max (0, X (1 + r)^{- (T - t)} - S_{t})

Put Exercise Value

プットの行使価値（本源的価値）

X

行使価格

r

無リスク金利（年率）

T, t

満期・現在の時点（T−t は残存年数）

X (1 + r)^{- (T - t)}

行使価格の現在価値 PV(X)

S_{t}

時点tの原資産価格

使いどころ：満期前のプットについて、行使価格の現在価値と原資産価格の差から行使価値を求める式。

16. コールオプションの無裁定上限・下限

No-Arbitrage Bounds of a Call Option

max (0, S_{t} - X (1 + r)^{- (T - t)}) \leq c_{t} \leq S_{t}

S_{t}

時点tの原資産価格（コール価格の上限）

X

行使価格

r

無リスク金利（年率）

T, t

満期・現在の時点（T−t は残存年数）

X (1 + r)^{- (T - t)}

行使価格の現在価値

c_{t}

時点tのヨーロピアン・コール価格

使いどころ：ヨーロピアン・コールの無裁定価格の下限（原資産価格と行使価格の現在価値の差）と上限（原資産価格）を示す式。

17. プットオプションの無裁定上限・下限

No-Arbitrage Bounds of a Put Option

max (0, X (1 + r)^{- (T - t)} - S_{t}) \leq p_{t} \leq X (1 + r)^{- (T - t)}

X

行使価格

r

無リスク金利（年率）

T, t

満期・現在の時点（T−t は残存年数）

X (1 + r)^{- (T - t)}

行使価格の現在価値（プット価格の上限）

S_{t}

時点tの原資産価格

p_{t}

時点tのヨーロピアン・プット価格

使いどころ：ヨーロピアン・プットの無裁定価格の下限（行使価格の現在価値と原資産価格の差）と上限（行使価格の現在価値）を示す式。

LM9 Option Replication Using Put–Call Parity（プット・コール・パリティによるオプションの複製）

この単元の要点解説：LM9 プット・コール・パリティによるオプションの複製

18. プット・コール・パリティ(ヨーロピアン)

Put-Call Parity (European Options)

S_{0} + p_{0} = c_{0} + X (1 + r)^{- T}

S_{0}

原資産の現在のスポット価格

p_{0}

ヨーロピアン・プットのプレミアム

c_{0}

ヨーロピアン・コールのプレミアム

X

行使価格

r

無リスク金利（年率）

T

満期までの年数

X (1 + r)^{- T}

行使価格の現在価値（額面Xの無リスク割引債の価格）

使いどころ：同じ原資産・行使価格・満期のヨーロピアン・オプションについて、原資産・プット・コール・無リスク債券の価格の無裁定関係を表す式。一方のオプション価格の導出や合成ポジションに使う。

19. プット・コール・フォワード・パリティ

Put-Call-Forward Parity

F_{0} (T) (1 + r)^{- T} + p_{0} = c_{0} + X (1 + r)^{- T} \Leftrightarrow p_{0} - c_{0} = \frac{X - F _{0} ( T )}{( 1 + r ) ^{T}}

F_{0} (T)

時点0で決まる満期Tの原資産のフォワード価格

r, T

無リスク金利（年率）と満期までの年数

p_{0}, c_{0}

プット・コールのプレミアム

X

行使価格

使いどころ：原資産をフォワードと無リスク債券の組み合わせに置き換えたパリティ関係。フォワード価格と行使価格の差からプットとコールの価格差を求める。

LM10 Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model（1期間二項モデルによるデリバティブ評価）

この単元の要点解説：LM10 1期間二項モデルによるデリバティブ評価

20. 1期間二項モデルのヘッジ比率とオプション価値

One-Period Binomial Hedge Ratio and Option Value

h^{*} = \frac{c _{1}^{u} - c _{1}^{d}}{S _{1}^{u} - S _{1}^{d}}

c_{0} = h^{*} S_{0} - \frac{h ^{*} S _{1}^{u} - c _{1}^{u}}{( 1 + r )}

h^{*}

ヘッジ比率（オプション1単位に対する原資産の保有量）

c_{1}^{u}, c_{1}^{d}

上昇時（u）・下落時（d）の時点1のオプション価値

S_{1}^{u}, S_{1}^{d}

上昇時・下落時の時点1の原資産価格

c_{0}

現在のコール価値

S_{0}

現在の原資産価格

r

1期間の無リスク金利

使いどころ：1期間二項モデルで、上昇・下落時のオプション価値と原資産価格からヘッジ比率を求め、無リスク・ポートフォリオを通じてオプションの無裁定価格を導く式。

21. リスク中立確率(二項モデル)

Risk-Neutral Probability (Binomial)

π = \frac{( 1 + r ) - R ^{d}}{R ^{u} - R ^{d}}

π

上昇のリスク中立確率（下落は 1−π）

r

1期間の無リスク金利

R^{d}

下落時のグロス・リターン（＝S_1^d/S_0）

R^{u}

上昇時のグロス・リターン（＝S_1^u/S_0）

使いどころ：1期間二項モデルで、上昇・下落のグロス・リターンと無リスク金利からリスク中立確率を求める式。

22. リスク中立評価によるオプション価格(二項モデル)

Risk-Neutral Option Valuation (Binomial)

c_{0} = \frac{π c _{1}^{u} + ( 1 - π ) c _{1}^{d}}{( 1 + r ) ^{T}}

c_{0}

現在のオプション価値

π

上昇のリスク中立確率

c_{1}^{u}, c_{1}^{d}

上昇時（u）・下落時（d）のオプション満期価値

r

1期間あたりの無リスク金利

T

満期までの期間数

使いどころ：リスク中立確率で加重した満期時のオプション価値の期待値を無リスク金利で割り引き、オプションの現在価値を求める式。

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