【CFA®︎ L3 Asset Allocation 公式集】Asset Allocation の重要公式30本｜記号の意味と使いどころを単元別に整理

CFA®︎ Level 3「Asset Allocation（アセット・アロケーション）」の重要公式30本を、学習単元（Learning Module）ごとに整理しました。公式ごとに数式・記号の意味・使いどころをまとめています。数式が横に長い場合は、横にスクロールしてご覧ください。

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単元（LM）一覧

LM1 資本市場期待 Part 1：枠組みとマクロ要因 LM2 資本市場期待 Part 2：資産クラス別リターン予測 LM3 アセット・アロケーションの概要 LM4 アセット・アロケーションの原則 LM5 現実の制約下でのアセット・アロケーション

Asset Allocation の重要公式（LM別）

LM1 Capital Market Expectations, Part 1: Framework and Macro Considerations（資本市場期待 Part 1：枠組みとマクロ要因）

この単元の要点解説：LM1 資本市場期待 Part 1：枠組みとマクロ要因

1. テイラー・ルール(政策金利の目標水準)

Taylor Rule

i^{*} = r_{neutral} + π_{e} + 0.5 (Y^_{e} - Y^_{trend}) + 0.5 (π_{e} - π_{target})

i^{*}

目標名目政策金利(π_e を足さない形が実質ベースの目標金利)

r_{neutral}

中立実質政策金利(景気を刺激も抑制もしない実質金利)

π_{e}, π_{target}

予想インフレ率・目標インフレ率(e = expected、target = 目標)

Y^_{e}, Y^_{trend}

予想実質GDP成長率・トレンド実質GDP成長率(GDP = 国内総生産、Gross Domestic Product)

使いどころ：成長率ギャップとインフレ・ギャップから中央銀行の政策金利の目安を求める式。金融政策が引き締め的か緩和的かを評価する場面で使う。

2. 国民所得勘定の恒等式(純輸出)

National Income Accounting Identity (Net Exports)

(X - M) = (S - I) + (T - G)

X, M

輸出(eXports)・輸入(iMports)。X − M が純輸出

S, I

民間貯蓄(Savings)・民間投資(Investment)。S − I が民間純貯蓄

T, G

税収(Taxes)・政府支出(Government spending)。T − G が政府収支

使いどころ：純輸出を民間の貯蓄投資差額と財政収支の和として表す恒等式。財政政策の変化が経常収支に与える影響を考える場面で使う。

3. 名目GDP成長に基づく長期株式リターン分解

Aggregate Equity Return from Nominal GDP Growth

E (R_{e}) \approx %Δ GDP_{nominal} + %Δ (\frac{E}{GDP}) + %Δ (\frac{P}{E}) + \frac{D}{P}

E (R_{e})

株式(equity)市場全体の長期期待リターン

%Δ

変化率(%表示)

GDP_{nominal}

名目国内総生産(Gross Domestic Product)。成長率 = 労働投入の成長 + 労働生産性の成長 + インフレ率

E

企業利益(Earnings)の総額

E / GDP

GDPに占める企業利益のシェア(変化は長期では0)

P

株価(Price)の水準

P / E

株価収益率(PER、Price-to-Earnings ratio)。変化は長期では0

D / P

配当利回り(D = 配当 Dividend)

使いどころ：名目GDP成長率を起点に、利益の対GDP比や株価収益率（PER）の変化、配当利回りを加えて長期の株式市場リターンを推定する式。成長トレンド分析を株式の期待に応用する場面で使う。

LM2 Capital Market Expectations, Part 2: Forecasting Asset Class Returns（資本市場期待 Part 2：資産クラス別リターン予測）

この単元の要点解説：LM2 資本市場期待 Part 2：資産クラス別リターン予測

4. 株式期待リターンの分解モデル

Grinold–Kroner Model

E (R_{e}) \approx \frac{D}{P} + (%Δ E - %Δ S) + %Δ (\frac{P}{E})

E (R_{e})

株式(equity)の期待リターン

D / P

予想配当利回り(D = 配当、P = 株価)

%Δ E

名目利益(Earnings)成長率(実質成長 + インフレ + 企業利益プレミアム)

%Δ S

発行済株式数(Shares)の変化率(自社株買いならマイナス)

%Δ (P / E)

株価収益率(PER、Price-to-Earnings ratio)の変化率(リプライシング・リターン)

使いどころ：株式の期待リターンを配当利回り、利益成長から株数変化を差し引いた部分、株価収益率（PER）の変化による再評価部分に分解して推定する式。

5. 株式リスクプレミアム(対債券)

Equity Risk Premium (Equity-vs-Bonds)

ERP = E (R_{e}) - y_{govt}

ERP

株式リスクプレミアム(Equity Risk Premium)

E (R_{e})

株式リターン(ヒストリカルまたは期待)

y_{govt}

長期国債(government bond)利回り(equity-vs-bills なら短期金利)

使いどころ：株式リターンと国債利回りの差として株式リスク・プレミアムを求める式。株式の期待リターンをリスク・プレミアムから組み立てる場面で使う。

6. ベータ(共分散/市場分散)

Beta (Covariance Form)

β_{i} = \frac{Cov ( R _{i} , R _{M} )}{σ _{M}^{2}}

β_{i}

資産(資産クラス)iのベータ

R_{i}, R_{M}

資産iのリターン・市場ポートフォリオ(Market)のリターン

Cov (R_{i}, R_{M})

資産iと市場(GIM = Global Investable Market、グローバル投資可能市場)の共分散(Covariance)

σ_{M}^{2}

市場ポートフォリオの分散(標準偏差の2乗)

使いどころ：資産と市場の共分散を市場の分散で割り、資産クラスのベータを求める式。資本資産評価モデル（CAPM）に基づく期待リターンやリスク・プレミアムの推定に使う。

7. 部分統合市場のリスクプレミアム推定(国際CAPM拡張)

Singer–Terhaar Model

RP_{i} = φ integrated ρ_{i, GM} σ_{i} (\frac{RP _{GM}}{σ _{GM}}) + (1 - φ) segmented σ_{i} (\frac{RP _{GM}}{σ _{GM}})

RP_{i}

資産iのリスクプレミアム(Risk Premium)

φ

統合度(degree of integration、0〜1)

ρ_{i, GM}

資産iとグローバル市場ポートフォリオ(GM = Global Market)の相関

σ_{i}

資産iのボラティリティ(標準偏差)

RP_{GM}, σ_{GM}

グローバル市場ポートフォリオのリスクプレミアム・標準偏差

RP_{GM} / σ_{GM}

グローバル市場のシャープレシオ(分断市場にも同値を適用)

integrated, segmented

完全統合市場を仮定した部分・完全分断市場を仮定した部分(分断では相関を1とみなす)

使いどころ：完全統合と完全分断を仮定したリスク・プレミアムを市場の統合度で加重平均し、資産クラスのリスク・プレミアムを推定する式。

8. 債券期待リターンの積み上げ方式

Fixed-Income Building Block Approach

E (R_{b}) = r_{f} + TP + CP + LP

E (R_{b})

債券(bond)の期待リターン

r_{f}

1期間デフォルトフリー金利(f = risk-free)

TP

タームプレミアム(Term Premium):長期化の対価

CP

クレジットプレミアム(Credit Premium):デフォルトリスクの対価

LP

流動性プレミアム(Liquidity Premium)

使いどころ：短期デフォルト・フリー金利に期間・信用・流動性の各プレミアムを積み上げ、債券の期待リターンを推定する式。

9. 新興国投資のマクロ健全性指標と警戒水準

Emerging Market Risk Ratios and Thresholds

\frac{Debt}{GDP} = \frac{ST debt + LT debt}{GDP}, \frac{FX reserves}{ST debt}

Debt

政府債務残高の合計

GDP

国内総生産(Gross Domestic Product)

ST debt, LT debt

短期債務(Short-Term debt)・長期債務(Long-Term debt)

FX reserves

外貨準備高(FX = Foreign eXchange、外国為替)

Debt / GDP

債務の対GDP比。70〜80%超で新興国は脆弱

FX reserves / ST debt

短期債務に対する外貨準備の比率。100%未満は危険、200%超なら十分

Fiscal deficit / GDP

（関連）財政赤字の対GDP比。4%超が継続すると警戒

Real growth

（関連）実質成長率。4%未満はキャッチアップ停滞のサイン

Current account deficit

（関連）経常収支赤字。GDP比4%超は競争力不足を示唆

使いどころ：政府債務の対GDP比や、短期債務に対する外貨準備の比率など、新興国の支払能力を測る指標。カントリー・リスク分析で経済の脆弱性を評価する場面で使う。

10. 不動産期待リターン(キャップレート・モデル)

Real Estate Expected Return (Cap Rate Model)

E (R_{re}) = Cap rate + NOI growth - %Δ Cap rate

E (R_{re})

不動産(real estate)の期待リターン

Cap rate

キャップレート(還元利回り、Capitalization rate)= NOI ÷ 物件価格

NOI growth

純営業収益(NOI = Net Operating Income)の成長率(長期では実質成長+インフレ ≈ GDP成長率)

%Δ Cap rate

キャップレートの変化率(長期リターンでは含めない)

使いどころ：キャップレートにNOI成長率を加え、キャップレートの変化率を差し引いて不動産の期待リターンを推定する式。

11. 分散共分散行列の推定パラメータ数

Distinct Elements of a VCV Matrix

Distinct covariances = \frac{N ( N - 1 )}{2}

Distinct covariances

分散共分散行列に含まれる互いに異なる共分散の数

N

資産数(ファクターモデルの感応度数は N×K、K = ファクター数)

使いどころ：資産数Nの分散共分散行列に含まれる異なる共分散の数を求める式。標本統計による推定で必要なパラメータ数を把握する場面で使う。

12. 購買力平価による為替レート予想

Purchasing Power Parity (PPP)

E (%Δ S) \approx π_{domestic} - π_{foreign}

E (%Δ S)

為替レート(S = Spot rate、自国通貨建て)の予想変化率(高インフレ国通貨は減価)

π_{domestic}, π_{foreign}

自国のインフレ率・外国のインフレ率

使いどころ：国内外のインフレ率格差から為替レートの予想変化率を求める式（購買力平価、PPP）。為替の長期的な方向性や割高・割安の目安として使う。

LM3 Overview of Asset Allocation（アセット・アロケーションの概要）

この単元の要点解説：LM3 アセット・アロケーションの概要

13. 経済的バランスシートと経済的純資産

Economic Balance Sheet / Economic Net Worth

Economic net worth = (A_{fin} + A_{ext}) - (L_{fin} + L_{ext})

Economic net worth

経済的純資産(経済的バランスシート上の資産 − 負債)

A_{fin}

金融資産(financial assets):投資ポートフォリオ、不動産、年金等

A_{ext}

拡張資産(extended assets):人的資本=将来労働所得の現在価値、寄付予定の受贈等

L_{fin}

金融負債(financial liabilities):住宅ローン等

L_{ext}

拡張負債(extended liabilities):教育資金、将来消費の現在価値、寄付予定等

使いどころ：金融資産に人的資本などの非金融資産を加え、金融負債と将来の支出などの非金融負債を差し引いて経済的純資産を求める式。資産配分の前提となる全体像の把握に使う。

LM4 Principles of Asset Allocation（アセット・アロケーションの原則）

この単元の要点解説：LM4 アセット・アロケーションの原則

14. 平均分散最適化の効用関数(確実性等価リターン)

MVO Utility (Certainty-Equivalent Return)

U_{m} = E (R_{m}) - 0.005 λ σ_{m}^{2}

U_{m}

資産ミックスmの効用(リスク調整後期待リターン=確実性等価)

E (R_{m})

資産ミックスmの期待リターン(%表記。小数表記なら U = E(R) − 0.5λσ²)

λ

リスク回避係数(通常1〜10、大きいほどリスク回避的)

σ_{m}^{2}

資産ミックスmのリターンの分散(%の2乗)

使いどころ：期待リターンからリスク回避度と分散に応じたペナルティを差し引いた効用を求める式。複数の資産配分候補から効用が最大のものを選ぶ場面で使う。

15. 安全第一基準(閾値リターン超過の確率比較)

Roy’s Safety-First Ratio (Probability Ratio)

SF = \frac{E ( R _{P} ) - R _{L}}{σ _{P}}

SF

安全第一比率(Safety-First ratio)。最大のものを選ぶ

E (R_{P}), σ_{P}

ポートフォリオの期待リターンと標準偏差

R_{L}

閾値リターン(L = 下限 threshold level。必要引出額÷元本、または目標リターン k_T)

使いどころ：期待リターンと最低限必要な閾値リターンの差を標準偏差で割った比率。閾値を下回る確率が最も低いポートフォリオを選ぶ場面で使う。

16. リスクフリー資産との組み合わせ(接点ポートフォリオ活用)

Combining a Risky Portfolio with the Risk-Free Asset

w = \frac{R _{target} - r _{f}}{E ( R _{P} ) - r _{f}}

σ_{combined} = w σ_{P}

w

リスク・ポートフォリオへの配分比率(1−wがリスクフリー資産)

R_{target}

目標リターン

r_{f}

リスクフリーレート

E (R_{P}), σ_{P}

リスク・ポートフォリオ(最高シャープレシオ)の期待リターンとσ

σ_{combined}

リスクフリー資産と組み合わせた後のポートフォリオの標準偏差

使いどころ：シャープ・レシオが最大のポートフォリオとリスクフリー資産を組み合わせ、目標リターンを達成する配分比率とそのリスクを求める式。

17. 限界リスク寄与度と絶対リスク寄与度

Marginal / Absolute Contribution to Total Risk (MCTR, ACTR)

MCTR_{i} = β_{i, P} σ_{P}

ACTR_{i} = w_{i} \times MCTR_{i}

MCTR_{i}

資産クラスiの限界リスク寄与度(Marginal Contribution to Total Risk)

β_{i, P}

資産クラスiのポートフォリオ(P)に対するベータ

σ_{P}

ポートフォリオのリターン標準偏差

ACTR_{i}

資産クラスiの絶対リスク寄与度(Absolute Contribution to Total Risk)

w_{i}

資産クラスiのウェイト(全資産クラスのACTRを合計するとσ_P)

使いどころ：各資産の総リスクへの限界寄与と絶対寄与を求める式。リスク・バジェッティングでポートフォリオ・リスクを資産別に分解する場面で使う。

18. リスクバジェット最適化の条件(超過リターン/MCTR)

Risk-Budgeting Optimality Condition

\frac{E ( R _{i} ) - r _{f}}{MCTR _{i}} = same for all i = \frac{E ( R _{P} ) - r _{f}}{σ _{P}}

E (R_{i}), E (R_{P})

資産クラスi・ポートフォリオの期待リターン

r_{f}

リスクフリーレート

MCTR_{i}

資産クラスiの限界リスク寄与度(Marginal Contribution to Total Risk)

(E (R_{i}) - r_{f}) / MCTR_{i}

資産クラスiの超過リターン÷限界リスク寄与度

σ_{P}

ポートフォリオの標準偏差

(E (R_{P}) - r_{f}) / σ_{P}

(接点)ポートフォリオのシャープレシオに一致すれば最適

使いどころ：超過リターンを総リスクへの限界寄与で割った比率がすべての資産で等しいという条件。資産配分がリスク・バジェットの観点で最適かを検証する場面で使う。

19. リスクパリティ配分

Risk Parity Allocation

w_{i} \times Cov (r_{i}, r_{P}) = \frac{σ _{P}^{2}}{n}

w_{i}

資産iのウェイト

r_{i}, r_{P}

資産iのリターン・ポートフォリオのリターン

Cov (r_{i}, r_{P})

資産iとポートフォリオの共分散(Covariance)

σ_{P}^{2}

ポートフォリオの分散

n

資産数

使いどころ：各資産クラスのポートフォリオ総リスクへの寄与が等しくなる条件を表す式。リスク・パリティによる配分ウエイトを決める場面で使う。

20. リバース最適化による均衡インプライド・リターン

Reverse Optimization / Implied Equilibrium Returns (CAPM)

E (R_{i}) = r_{f} + β_{i} \times RP_{market}

E (R_{i})

資産クラスiの均衡インプライド期待リターン

r_{f}

リスクフリーレート

β_{i}

グローバル市場ポートフォリオに対するベータ

RP_{market}

グローバル市場リスクプレミアム(Risk Premium)

使いどころ：時価総額ウエイトを最適とみなし、資本資産評価モデル（CAPM）で各資産クラスの均衡期待リターンを逆算する式。ブラック・リターマン・モデルの出発点として使う。

21. サープラス最適化の目的関数

Surplus Optimization Objective Function

U_{m}^{LR} = E (R_{s, m}) - 0.005 λ σ^{2} (R_{s, m})

U_{m}^{LR}

資産ミックスmの負債対比(LR = Liability-Relative)の効用

E (R_{s, m})

資産ミックスmの期待サープラス(s = surplus)リターン(=(資産の変化 − 負債の変化)÷ 期初資産)

λ

リスク回避係数

σ^{2} (R_{s, m})

サープラス・リターンの分散

使いどころ：サープラス・リターンの期待値からリスク回避度と分散に応じたペナルティを差し引いた効用を求める式。負債対比の資産配分で最適な資産ミックスを選ぶ場面で使う。

22. 年金の積立比率

Funding Ratio

Funding ratio = \frac{MV ( assets )}{PV ( liabilities )}

Funding ratio

積立比率(1超=overfunded 積立超過、1未満=underfunded 積立不足)

MV (assets)

年金資産の時価(MV = Market Value)

PV (liabilities)

年金負債の現在価値(PV = Present Value)

使いどころ：資産の時価を負債の現在価値で割った積立比率。年金などの積立状況や、金利変動が積立状況に与える影響を評価する場面で使う。

23. ヘッジ/リターン追求の2ポートフォリオ・アプローチ

Two-Portfolio (Hedging/Return-Seeking) Approach

w_{hedge} = \frac{PV ( liabilities )}{MV ( assets )}

Surplus = MV (A) - PV (L)

w_{hedge}

ヘッジ・ポートフォリオ(負債と同じドライバーの資産)への配分比率

PV (liabilities), PV (L)

負債(L = Liabilities)の現在価値(PV = Present Value)

MV (assets), MV (A)

資産(A = Assets)の時価(MV = Market Value)

Surplus

サープラス:リターン追求ポートフォリオに投資する残余

使いどころ：負債の現在価値に相当する資産をヘッジ・ポートフォリオに、残りのサープラスをリターン追求ポートフォリオに充てる配分を求める式。

24. ゴールベース配分(最低期待リターンによる割引)

Goals-Based Allocation: Minimum Expectation Return as Discount Rate

PV_{goal} = \frac{FV _{goal}}{( 1 + r _{min} ) ^{N}}

PV_{goal}

ゴールのために今必要な資金額(PV = Present Value、現在価値)

FV_{goal}

ゴール時点の目標額(FV = Future Value、将来価値)

r_{min}

所定の期間・成功確率で最も高い『最低期待リターン』(=最小の資金コスト)を持つモジュールの利率

N

ゴールまでの年数(年金型ゴールなら年金PV計算を使う)

使いどころ：目標額を、期間と必要な達成確率に対応するモジュールの最低期待リターンで割り引き、目標ごとに必要な資金額を求める式。

25. サブポートフォリオが賄えるインフレ調整後年間支出額

Inflation-Adjusted Annual Cash Flow (Growing Annuity Due)

CF = \frac{V _{0} ( k - g )}{[ 1 - ( \frac{1 + g}{1 + k} ) ^{N} ] ( 1 + k )}

CF

初年度の年間支出額(CF = Cash Flow)。以後gで増加

V_{0}

サブポートフォリオへの投資額

k

最低期待リターン(期間・成功確率対応の割引率)

g

支出の成長率(インフレ率)

N

支出年数(期初払い年金)

使いどころ：期初払いでインフレ率とともに増える毎年の支出額を、サブ・ポートフォリオの現在価値と割引率から求める式。ゴール・ベースで生活費を賄える額を算定する場面で使う。

26. リバランス・コリドー幅の決定要因

Optimal Rebalancing Corridor Width Factors

Wider: TC ↑, risk tolerance ↑, ρ_{rest} ↑, tax ↑

Narrower: σ_{rest} ↑, σ_{own} ↑

Wider, Narrower

コリドー(許容幅)を広くする要因・狭くする要因

TC

取引コスト(Transaction Costs)が高い → 広い(リバランスのハードルが上がる)

risk tolerance

リスク許容度が高い → 広い(乖離を許容できる)

ρ_{rest}

残りのポートフォリオ(rest)との相関が高い → 広い(乖離が進みにくい)

tax

キャピタルゲイン税率が高い/課税口座 → 広い

σ_{rest}

残りのポートフォリオのボラティリティが高い → 狭い

σ_{own}

当該資産(own)のボラティリティが高い → 狭い(実務上はコスト重視で広げることもある)

使いどころ：取引コスト、リスク許容度、相関、ボラティリティなどとリバランスの許容幅（コリドー）の広さの関係を整理したもの。資産クラスごとの許容幅を設定する場面で使う。

27. 年齢ベースの株式配分ヒューリスティック

“120 Minus Your Age” Heuristic

% Stocks = 120 - Age

% Stocks

株式への配分比率(残りを債券へ)

Age

投資家の年齢。年齢とともに株式比率が自動的に低下

使いどころ：120から年齢を差し引いた値を株式比率とする経験則。年齢に応じて株式比率を機械的に決めるヒューリスティックな配分手法として使う。

LM5 Asset Allocation with Real-World Constraints（現実の制約下でのアセット・アロケーション）

この単元の要点解説：LM5 現実の制約下でのアセット・アロケーション

28. 戦術的資産配分の超過リターン

TAA Incremental Return vs. SAA

Δ R_{TAA} = (w_{1}^{TAA} - w_{1}^{policy}) R_{1} + (w_{2}^{TAA} - w_{2}^{policy}) R_{2} + \dots

Δ R_{TAA}

戦術的資産配分(TAA = Tactical Asset Allocation)による超過リターン

w_{i}^{TAA}, w_{i}^{policy}

資産クラスiのTAAウェイトと政策ウェイト(SAA = Strategic Asset Allocation、戦略的資産配分)

R_{i}

当該期間の資産クラスiのリターン

使いどころ：TAAウエイトと政策ウエイトの差に各資産のリターンを掛けて合計し、戦術的資産配分が生んだ追加リターンを求める式。

29. 税引後リターン

After-Tax Return

r_{at} = r_{pt} (1 - t)

r_{at}

税引後リターン(at = after-tax)

r_{pt}

税引前リターン(pt = pre-tax)

t

適用税率(利子は高税率、配当・長期キャピタルゲインは低税率が一般的)

使いどころ：税引前リターンに（1−税率）を掛けて税引後リターンを求める式。課税投資家の資産配分で税引後の期待リターンを入力にする場面で使う。

30. 税引後ボラティリティと課税口座のリバランス幅

After-Tax Volatility and Rebalancing Range

σ_{at} = σ_{pt} (1 - t)

Range_{at} = \frac{Range _{pt}}{1 - t}

σ_{at}

税引後(after-tax)ボラティリティ(税は上下両裾を切り縮め分散を低下させる)

σ_{pt}

税引前(pre-tax)ボラティリティ

t

税率

Range_{at}

課税口座のリバランス許容幅(税引前の幅 ÷ (1−t))

Range_{pt}

税引前ベースのリバランス許容幅

使いどころ：税によってリターンのばらつきが縮小することを示し、課税ポートフォリオのリバランス許容幅を税引前より広く設定できることを表す式。

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