正規分布・歪度・尖度とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 正規分布は、平均を中心に左右対称な釣鐘型の分布で、平均と標準偏差の2つだけで形が決まります。
- 歪度は分布の左右の偏り、尖度は分布のとがり具合や裾の厚さを表す指標です。
- 正規分布は歪度0・尖度3（超過尖度0）で、これを基準に実際のデータの形を比べます。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「正規分布と歪度・尖度」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (3) 統計の基礎 |
| 協会の学習ポイント | 正規分布の基本的な性質やデータの分布の歪度と尖度について理解する。 |
正規分布・歪度・尖度とは
正規分布の基本的な性質
正規分布は、平均μのところが最も高く、左右に離れるほどなだらかに低くなる釣鐘型の分布です。平均μと標準偏差σが決まれば形が1つに決まり、N(μ, σ2)と表します。左右対称なので、平均・中央値・最頻値はすべて一致します。
正規分布では、平均から標準偏差の何倍の範囲にどれだけのデータが入るかが決まっています。平均±1σの範囲に約68.3％、±2σに約95.4％、±3σに約99.7％が入ります。また、ちょうど95％が入るのは±1.96σの範囲です。資産のリターンを正規分布で近似することで、「どのくらいの確率でどの程度の損失が出るか」を見積もることができます。
歪度（わいど）
歪度は分布の左右の非対称性を表します。左右対称なら0です。右側（大きい値の側）に長い裾をもつ分布は歪度がプラス（正の歪み）、左側に長い裾をもつ分布は歪度がマイナス（負の歪み）になります。正の歪みの分布では、ごく一部の大きな値に引っ張られて、一般に平均が中央値より大きくなります。
尖度（せんど）
尖度は分布の中心付近のとがり具合と、裾の厚さを表します。正規分布の尖度は3で、尖度から3を引いた値を超過尖度と呼びます。尖度が3より大きい分布は、中心が鋭くとがり裾が厚い形（ファットテール）になり、正規分布が想定するよりも極端な値が起こりやすいことを意味します。株式のリターンなど実際の金融データは、ファットテールになることが多いと知られています。
押さえておきたい公式
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| X | 確率変数（リターンなど） |
| μ | 平均（期待値） |
| σ | 標準偏差 |
| E[ ] | 期待値をとる操作 |
具体例で確認
ある資産の年間リターンが、平均5％・標準偏差10％の正規分布に従うとします。
- 平均±1σ：−5％〜15％の範囲に入る確率は約68.3％
- 平均±2σ：−15％〜25％の範囲に入る確率は約95.4％
- 平均±3σ：−25％〜35％の範囲に入る確率は約99.7％
- リターンが−15％を下回る確率は、左右対称なので（1−0.954）÷2＝約2.3％
ただし、実際のリターン分布が負の歪度をもち、超過尖度がプラス（ファットテール）であれば、大きな損失が起こる確率は上の計算より高くなります。正規分布の前提がリスクを過小評価しうる、という点は実務でも重要な視点です。
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「正規分布の基本的な性質とデータ分布の歪度・尖度を理解する」）。
試験で問われやすいポイント
- ±1σで約68％、±2σで約95％、±3σで約99.7％、95％の範囲は±1.96σという数値の組み合わせ。
- 正規分布は左右対称で、平均・中央値・最頻値が一致すること。
- 歪度の符号と裾の向きの対応（右に長い裾＝正、左に長い裾＝負）と、平均と中央値の大小関係。
- 尖度の基準は3（超過尖度では0）。「正規分布の尖度は0」といった記述は、超過尖度の話かどうかに注意が必要です。
- ファットテールの意味と、正規分布を仮定するとリスクを過小評価しうること。
要点まとめ
- 正規分布は平均と標準偏差で決まる左右対称の釣鐘型の分布。
- ±1σ・±2σ・±3σに入る確率（約68％・95％・99.7％）を覚える。
- 歪度は左右の偏り（正規分布は0）、尖度は裾の厚さ（正規分布は3）。
- 金融データはファットテールになりやすく、正規分布の前提には限界がある。
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
