母平均の検定とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 母平均の検定は、正規母集団の平均μがある値μ0に等しいかどうかを、標本平均を使って調べる検定です。
- 母分散が既知ならz検定（標準正規分布）、未知で標本標準偏差sを使うならt検定（自由度n−1のt分布）を使います。
- 検定統計量は「（標本平均 − μ0）÷ 標準誤差」という共通の形です。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「母平均の検定」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (6) 推定と検定 |
| 協会の学習ポイント | 正規母集団の母平均の検定方法について理解する。 |
母平均の検定とは
「このファンドの平均超過リターンはゼロより大きいか」「ある銘柄の平均日次リターンは市場平均と異なるか」といった問いに答えるのが母平均の検定です。帰無仮説をH0：μ＝μ0とし、標本平均がμ0からどれだけ離れているかを、標準誤差を単位として測ります。
母分散が既知の場合：z検定
母標準偏差σがわかっているとき、H0のもとで検定統計量zは標準正規分布に従います。有意水準5％の両側検定なら、|z|＞1.96でH0を棄却します。
母分散が未知の場合：t検定
実務でも試験でも、σは未知であることがほとんどです。その場合はσの代わりに標本標準偏差s（n−1で割る不偏分散の平方根）を使い、検定統計量tは自由度n−1のt分布に従います。t分布は標準正規分布より裾が厚いため、同じ有意水準でも棄却の境目（臨界値）はzより大きくなります。nが大きくなるとt分布は標準正規分布に近づきます。
片側か両側か
対立仮説が「μ≠μ0」なら両側検定、「μ＞μ0」や「μ＜μ0」なら片側検定です。両側検定では有意水準αを左右にα/2ずつ振り分けるため、臨界値が片側検定より大きくなります。
押さえておきたい公式
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| x̄ | 標本平均 |
| μ0 | 帰無仮説で想定する母平均の値 |
| σ／s | 母標準偏差／標本標準偏差 |
| n | 標本の大きさ |
具体例で確認
ある運用戦略の月次超過リターンを16か月分集めたところ、標本平均1.2％、標本標準偏差2.0％でした。母分散は未知です。H0：μ＝0、H1：μ≠0を有意水準5％で検定します。
- 標準誤差：2.0 ÷ √16 ＝ 0.5％
- 検定統計量：t ＝ (1.2 − 0) ÷ 0.5 ＝ 2.4
- 自由度15のt分布の両側5％臨界値：約2.131
- 2.4 ＞ 2.131なので、H0を棄却します（p値は約3.0％）。
もし誤って標準正規分布の1.96を使っても結論は同じですが、tが2.0のように境目付近だと、zとtのどちらを使うかで結論が変わりえます。
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「正規母集団の母平均の検定方法を理解する」）。
試験で問われやすいポイント
- 母分散が既知ならz、未知ならtという使い分けが問われやすいです。
- t検定の自由度はn−1であり、nと取り違えるひっかけに注意しましょう。
- 標準誤差は標準偏差÷√nで、標準偏差そのもので割ってしまうミスが狙われやすいです。
- t分布はnが小さいほど裾が厚く、臨界値がzより大きい点や、nが大きいと正規分布に近づく点を押さえましょう。
- 片側・両側で臨界値が変わることを踏まえ、棄却・非棄却を判断する計算問題が考えられます。
要点まとめ
- 母平均の検定は「（標本平均−μ0）÷標準誤差」で判断する
- σ既知ならz検定、σ未知ならsを使ったt検定（自由度n−1）
- t分布は裾が厚く、nが大きくなると標準正規分布に近づく
- 対立仮説の形で片側・両側を決め、臨界値を選ぶ
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
