条件付き期待値とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「条件付き期待値の応用」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

条件付き期待値とは

ある事象Bが起きたという条件のもとで、確率変数Xがとる値の平均をXの条件付き期待値といい、E(X|B)と書きます。計算方法は通常の期待値と同じで、確率の代わりに条件付き確率P(X＝x|B)を使って「値×条件付き確率」を合計します。

たとえば株式のリターンは、景気が良ければ高く、悪ければ低くなりやすいと考えられます。景気が好況か不況かで分けてリターンの期待値を考えたものが、条件付き期待値です。アナリストの予想も「このシナリオならこのくらい」という条件付きの形で立てることが多いため、実務的にも自然な考え方です。

繰り返し期待値の法則

条件B₁, B₂, …が重なりなく全体を覆っているとき、全体の期待値E(X)は、条件付き期待値E(X|B_i)にP(B_i)を掛けて合計したものに等しくなります。全確率の定理の「期待値版」と考えるとわかりやすいでしょう。

ポートフォリオへの応用

ポートフォリオのリターンは各資産リターンの加重平均なので、条件付き期待値についても「ポートフォリオの条件付き期待値＝各資産の条件付き期待値の加重平均」が成り立ちます。シナリオごとにポートフォリオの期待リターンを計算し、シナリオの確率で合計すれば、全体の期待リターンが求められます。

さらに、全体の分散は「条件ごとの分散の期待値」と「条件付き期待値のばらつき（分散）」の和に分解できます（全分散の公式）。シナリオによる期待値の違いそのものがリスクの一部になる、という点が大切です。

押さえておきたい公式

具体例で確認

来年は好況（確率0.4）か不況（確率0.6）のどちらかとし、シナリオごとの期待リターンを次のように予想します。

• E(A)＝0.4×12＋0.6×(−3)＝3.0％、E(B)＝0.4×4＋0.6×5＝4.6％
• ポートフォリオ：0.4×8＋0.6×1＝3.8％（＝0.5×3.0＋0.5×4.6でも同じ）
• 全分散の公式：各シナリオ内でのAの標準偏差を10％（分散100）とすると、条件付き期待値のばらつきは0.4×(12−3)²＋0.6×(−3−3)²＝54。Aの分散は100＋54＝154で、標準偏差は約12.4％

好況時にはAが有利、不況時にはBが有利なので、組み合わせることでシナリオによる期待リターンの振れ幅（8％と1％）が、A単独（12％と−3％）より小さくなっています。

動画で解説

この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「確率変数の期待値・標準偏差・相関係数・条件付き期待値・2変数の確率分布を理解し、ポートフォリオに応用できる」）。

要点まとめ

• 条件付き期待値は、ある条件のもとでの平均的な値。
• E(X)＝ΣE(X|B_i)P(B_i)で全体の期待値に戻せる。
• シナリオ別の予想からポートフォリオの期待リターンを計算できる。
• 分散は「条件内」と「条件間」のばらつきに分解できる。

証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。

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※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。