2階微分と曲率（凸性）とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 2階微分とは、導関数f′(x)をもう一度微分したもので、f′′(x)やd2y/dx2と書きます。
- f′′＞0なら下に凸（傾きが増えていく）、f′′＜0なら上に凸（傾きが減っていく）です。
- 債券価格のコンベクシティや、最適化で最大・最小を見分ける条件に使われます。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「2階微分と曲率」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (8) 微分の基礎 |
| 協会の学習ポイント | 2階微分の定義と表記の仕方、関数の曲率との関係について理解する。 |
2階微分と曲率（凸性）とは
1階微分f′(x)は「傾き」を表しました。その傾きがxとともにどう変わるかを表すのが2階微分f′′(x)です。「変化の変化」と考えるとイメージしやすいでしょう。物理でいえば、位置の1階微分が速度、2階微分が加速度にあたります。
表記の仕方
2階微分はf′′(x)、y′′、d2y/dx2などと書きます。d2y/dx2は、dy/dxをさらにxで微分する、という意味の記号です。
曲率・凸性との関係
f′′(x)＞0の範囲では、xが増えるにつれて傾きがだんだん大きくなるので、グラフはお椀を上に向けたような下に凸の形になります。逆にf′′(x)＜0なら傾きがだんだん小さくなり、山型の上に凸の形です。f′′(x)の絶対値が大きいほど、曲がり方（曲率）は強くなります。f′′の符号が切り替わる点を変曲点といいます。
ファイナンスでの使われ方
債券価格は利回りの関数として下に凸の形をしています。1階微分から求めるデュレーションは直線（接線）による近似にすぎず、実際の価格はその接線より上にきます。この曲がり具合を2階微分で測ったものがコンベクシティです。また、f′(x)＝0となる点でf′′(x)＞0なら極小、f′′(x)＜0なら極大と判定できます。
押さえておきたい公式
| f′′の符号 | グラフの形 |
|---|---|
| f′′＞0 | 下に凸（傾きが増加）。f′＝0なら極小 |
| f′′＜0 | 上に凸（傾きが減少）。f′＝0なら極大 |
| 符号が変わる点 | 変曲点（曲がる向きが入れ替わる） |
具体例で確認
例1：3次関数
f(x)＝x3－3xとすると、f′(x)＝3x2－3、f′′(x)＝6xです。f′(x)＝0となるのはx＝±1で、x＝1ではf′′＝6＞0なので極小、x＝－1ではf′′＝－6＜0なので極大です。x＝0でf′′の符号が変わるので、原点が変曲点です。
例2：割引債のコンベクシティ
額面100円・残存5年の割引債P(y)＝100(1＋y)－5で、y＝4％とします。
- P ≒ 82.19円
- P′′(y) ＝ 100 × (－5)(－6)(1＋y)－7 ＝ 3,000 ÷ 1.047 ≒ 2,279.75
- コンベクシティ ＝ 2,279.75 ÷ 82.19 ＝ 30 ÷ 1.042 ≒ 27.74
P′′＞0なので価格曲線は下に凸であり、デュレーションだけの近似より実際の価格が高くなることが確認できます。
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「2階微分の定義と表記の仕方、関数の曲率との関係について理解する」）。
試験で問われやすいポイント
- f′′＞0は下に凸、f′′＜0は上に凸という対応が問われやすく、逆に覚えてしまうミスに注意しましょう。
- f′＝0の点でf′′の符号から極大・極小を判定する手順がよく使われます。
- 変曲点はf′′の符号が変わる点であり、f′′＝0でも符号が変わらなければ変曲点ではない点がひっかけになりえます。
- 債券価格のコンベクシティが2階微分に基づくこと、正のコンベクシティがデュレーション近似との差を生むことを理解しておきましょう。
- d2y/dx2などの表記の読み取りも確認しておきましょう。
要点まとめ
- 2階微分＝導関数をもう一度微分したもの（f′′、d2y/dx2）
- f′′＞0で下に凸、f′′＜0で上に凸
- f′＝0かつf′′＞0なら極小、f′′＜0なら極大
- 債券のコンベクシティは価格の2階微分から求める
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
