ブラック＝ショールズ式の計算とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・デリバティブ分析｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

ブラック＝ショールズ式では、コール価値をC ＝ S × N(d₁) − K × e^−rT × N(d₂)で計算します。
計算の流れはd₁→d₂→標準正規分布表でN(d)→代入の4ステップです。
プットはプット専用の式か、プット・コール・パリティを使ってコールから求めます。

この記事では、証券アナリスト2次「デリバティブ分析」の学習ポイントのひとつ「BSモデルによる価値算出」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次証券分析とポートフォリオ・マネジメント／デリバティブ分析
大分類	(3) オプション取引の仕組みと評価
協会の学習ポイント	ブラック＝ショールズ・モデルによるヨーロピアン・オプションの価値算出方法を理解する。

ブラック＝ショールズ式の計算とは

ブラック＝ショールズ・モデル（BSモデル）の前提のもとでは、ヨーロピアン・オプションの価格を解析的な式で求められます。試験では、株価・権利行使価格・残存期間・無リスク金利・ボラティリティの5つの数値と標準正規分布表が与えられ、実際に価格を計算する力が問われます。

式の意味をつかむ

コールの式は「S × N(d₁)」と「K × e^−rT × N(d₂)」の差になっています。前の項は株式をN(d₁)単位保有する部分、後ろの項は権利行使価格の現在価値にN(d₂)を掛けた借入れ部分と読めます。つまりBS式は、コールを「株式の買い」と「借入れ」の組合せで複製したときのコストを表しています。N(d₁)はコールのデルタ、N(d₂)はリスク中立の世界で満期に権利行使される確率にあたります。

計算のコツ

BS式では金利は連続複利で扱うため、権利行使価格の現在価値はK × e^−rTで計算します。残存期間Tとボラティリティσ、金利rは年単位にそろえることが大切です。たとえば残存3か月ならT＝0.25です。また、N(d)は標準正規分布の累積確率で、dがマイナスのときはN(−d) ＝ 1 − N(d)を使って表から読み取ります。

押さえておきたい公式

C ＝ S × N(d₁) − K × e^−rT × N(d₂)ヨーロピアン・コール

P ＝ K × e^−rT × N(−d₂) − S × N(−d₁)ヨーロピアン・プット

d₁ ＝ { ln(S ÷ K) ＋ (r ＋ σ² ÷ 2) × T } ÷ (σ × √T)　　d₂ ＝ d₁ − σ × √T

C − P ＝ S − K × e^−rTプット・コール・パリティ（検算に便利）

記号	意味
S	現在の株価
K	権利行使価格
T	残存期間（年）
r	無リスク金利（年率・連続複利）
σ	ボラティリティ（年率）
N(・)	標準正規分布の累積分布関数