ベクトル・行列の基本演算とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

ベクトルは数を1列（または1行）に並べたもの、行列は数を縦横の長方形に並べたものです。
基本の演算は和・スカラー倍・積・転置の4つで、特に積は「行×列」で計算し、順番を入れ替えると結果が変わる点が重要です。
ポートフォリオのウェイトや分散共分散行列を扱う2次の数量分析の土台になります。

この記事では、証券アナリスト2次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「ベクトル・行列の基本」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次市場と経済の分析／数量分析と確率・統計
大分類	(10) ベクトルと行列
協会の学習ポイント	ベクトルと行列の基本的な演算に関する学習ポイント（※原文は協会の資料をご確認ください）

ベクトル・行列の基本演算とは

ベクトルは、複数の数をひとまとめにして扱うための道具です。たとえば3銘柄のポートフォリオの投資比率（ウェイト）を w ＝ (0.5, 0.3, 0.2)’ のように1本のベクトルで表せます。証券分析では、特に断りがなければ縦に並べた列ベクトルを基本とし、右肩の「’」（または^T）で転置を表すことが多いです。

行列は、数を m行×n列に並べたもので、「m×n行列」と呼びます。複数資産の分散と共分散をまとめた分散共分散行列は、行と列の数が等しい正方行列であり、しかも i行j列と j行i列の成分が等しい対称行列です。

和とスカラー倍

行列の和は、同じサイズの行列どうしで、同じ位置の成分を足し合わせます。サイズが違う行列は足せません。スカラー倍（ある数cを掛けること）は、すべての成分にcを掛けます。

積

行列の積ABは、Aのi行目とBのj列目の成分を順に掛けて足したものを i行j列の成分とします。そのため、Aの列数とBの行数が一致しているときだけ計算でき、m×n行列とn×p行列の積は m×p行列になります。また、一般にAB ≠ BAです（交換法則が成り立たない）。

転置と単位行列

転置A’は、行と列を入れ替えた行列です。積の転置は(AB)’ ＝ B’A’と順番が逆になります。対角成分がすべて1で他が0の正方行列を単位行列Iといい、AI ＝ IA ＝ A が成り立ちます。数の「1」にあたる行列です。

押さえておきたい公式

(A ＋ B)_ij ＝ a_ij ＋ b_ij　　(cA)_ij ＝ c × a_ij和は同じサイズどうし、スカラー倍は全成分にcを掛ける

(AB)_ij ＝ a_i1b_1j ＋ a_i2b_2j ＋ … ＋ a_inb_nj(m×n) × (n×p) ＝ (m×p)。一般に AB ≠ BA

(A’)_ij ＝ a_ji　　(AB)’ ＝ B’A’転置は行と列の入れ替え。積の転置は順序が逆になる

x’y ＝ x₁y₁ ＋ x₂y₂ ＋ … ＋ x_ny_nベクトルの内積（1×n と n×1 の積でスカラーになる）

記号	意味
a_ij	行列Aのi行j列の成分
A’（A^T）	Aの転置行列
I	単位行列
x’y	ベクトルxとyの内積

具体例で確認

2×2行列 A ＝ [[1, 2], [3, 4]]、B ＝ [[2, 0], [1, 3]] を使います（[ ]の中の1つ目が1行目、2つ目が2行目）。

和：A ＋ B ＝ [[1＋2, 2＋0], [3＋1, 4＋3]] ＝ [[3, 2], [4, 7]]
スカラー倍：2A ＝ [[2, 4], [6, 8]]
積AB：1行1列＝ 1×2 ＋ 2×1 ＝ 4、1行2列＝ 1×0 ＋ 2×3 ＝ 6、2行1列＝ 3×2 ＋ 4×1 ＝ 10、2行2列＝ 3×0 ＋ 4×3 ＝ 12 より、AB ＝ [[4, 6], [10, 12]]
積BA：同様に計算すると BA ＝ [[2, 4], [10, 14]]となり、AB と一致しません。
転置：A’ ＝ [[1, 3], [2, 4]]

また、ウェイト w ＝ (0.6, 0.4)’、期待リターン μ ＝ (8％, 4％)’ とすると、ポートフォリオの期待リターンは内積 w’μ ＝ 0.6×8 ＋ 0.4×4 ＝ 6.4％と計算できます。

試験で問われやすいポイント