単位根・ランダムウォークとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト2次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

単位根過程とは、AR(1)の係数φがちょうど1になるような非定常な時系列で、代表例がランダムウォーク y_t ＝ y_t−1 ＋ ε_t です。
ショックの影響が消えずに永久に残り、分散は時間に比例して大きくなるため、平均に戻る性質がありません。
1回階差（差分）をとると定常になるので「1次の和分過程 I(1)」とも呼ばれ、単位根かどうかはディッキー＝フラー（DF）検定などで調べます。

この記事では、証券アナリスト2次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「単位根とランダムウォーク」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	2次市場と経済の分析／数量分析と確率・統計
大分類	(13) 時系列分析
協会の学習ポイント	単位根過程の概要とランダムウォークの特徴について理解する。

単位根とランダムウォークとは

AR(1)モデル y_t ＝ c ＋ φy_t−1 ＋ ε_t は、|φ|＜1なら定常で、ショックの影響は時間とともに薄れて平均に戻っていきます。ところがφ＝1になると性質ががらりと変わります。特性方程式の根が1（単位円上）になることから、このような過程を単位根過程と呼びます。

ランダムウォークの特徴

φ＝1、c＝0の場合がランダムウォーク y_t ＝ y_t−1 ＋ ε_t です。これをさかのぼって書くと y_t ＝ y₀ ＋ ε₁ ＋ ε₂ ＋ … ＋ ε_t となり、過去のショックがすべて足し上げられた形になります。ここから次の特徴が出てきます。

ショックが永続する：一度生じたショックは減衰せず、将来の水準をずっと動かしたままにします。
分散が時間とともに増える：Var(y_t) ＝ tσ² で、期間が長いほどばらつきが大きくなります（標準偏差は√tに比例）。
最適な予測は現在の値：将来の誤差の期待値はゼロなので、何期先でも予測値はy_Tのままです。

定数項c（ドリフト）が付いた y_t ＝ c ＋ y_t−1 ＋ ε_t はドリフト付きランダムウォークで、平均的にtc だけ水準が動いていきます。対数株価は、ドリフト付きランダムウォークに近い動きをするモデルとしてよく使われます。

階差をとると定常になる

ランダムウォークの階差 Δy_t ＝ y_t − y_t−1 ＝ ε_t はホワイトノイズで定常です。このように1回の階差で定常になる系列をI(1)（1次の和分過程）と呼びます。株価水準は非定常でも、その変化率（リターン）は定常に近い、という整理につながります。

単位根検定

単位根かどうかを調べる代表的な方法がディッキー＝フラー（DF）検定です。Δy_t ＝ c ＋ γy_t−1 ＋ ε_t（γ＝φ−1）と変形し、帰無仮説「γ＝0（単位根あり）」を検定します。帰無仮説のもとでは推定量が通常のt分布に従わないため、専用の臨界値を使う必要があります。誤差の自己相関に対応するため、階差のラグを加えた拡張版（ADF検定）もよく使われます。

押さえておきたい公式

y_t ＝ y_t−1 ＋ ε_t ＝ y₀ ＋ ε₁ ＋ … ＋ ε_tランダムウォーク：過去のショックの累積

Var(y_t | y₀) ＝ tσ²分散は時間に比例して増加（定常AR(1)ではσ²÷(1−φ²)で一定）

Δy_t ＝ c ＋ γy_t−1 ＋ ε_t　（γ ＝ φ − 1）DF検定の式。帰無仮説 γ＝0（単位根あり）

具体例で確認

1期当たりの誤差の標準偏差σが2％の系列を考えます。

分散の拡大：ランダムウォークなら、25期後の分散は 25 × (2％)²、標準偏差は 2％ × √25 ＝ 10％です。100期後なら 2％ × 10 ＝ 20％と、ばらつきはどんどん広がります。
ショックの持続：大きさ1のショックが起きたとき、φ＝0.5の定常AR(1)では5期後の影響が 0.5⁵ ＝ 0.03125 まで小さくなります。ランダムウォーク（φ＝1）では5期後も100期後も影響は1のままです。

試験で問われやすいポイント