【CFA®︎ L1 Quants 公式集】Quantitative Methods の重要公式44本｜記号の意味と使いどころを単元別に整理

CFA®︎ Level 1「Quantitative Methods（数量分析）」の重要公式44本を、学習単元（Learning Module）ごとに整理しました。公式ごとに数式・記号の意味・使いどころをまとめています。数式が横に長い場合は、横にスクロールしてご覧ください。

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単元（LM）一覧

LM1 金融資産・金融商品のリターン LM3 リターンのベンチマーク（MWR・TWR・指数）LM4 ファイナンスにおける貨幣の時間価値 LM5 資産リターンの統計的特性 LM6 金融資産の価格・リターンの統計的分布 LM7 推定と仮説検定 LM10 ファイナンスにおける単回帰分析の応用

Quants の重要公式（LM別）

LM1 Returns of Financial Assets and Instruments（金融資産・金融商品のリターン）

この単元の要点解説：LM1 金融資産・金融商品のリターン

1. 保有期間収益率(HPR)

Holding Period Return

R = \frac{P _{1} - P _{0} + I _{1}}{P _{0}}

R = (1 + R_{1}) (1 + R_{2}) \dots (1 + R_{T}) - 1

R

保有期間収益率（HPR, Holding Period Return）

P_{0}, P_{1}

期首・期末の価格

I_{1}

期間中に受け取ったインカム（配当・利息）

R_{t}

第t期の1期間リターン（t = 1, 2, …, T）

T

連結する期間数

使いどころ：1期間の価格変動とインカムを合わせた保有期間の総収益率を求める式。複数期間の収益率は（1＋R）を掛け合わせて連結する。

2. 算術平均収益率

Arithmetic Mean Return

R ˉ = \frac{R _{1} + R _{2} + \dots + R _{T}}{T}

R ˉ

算術平均リターン

R_{t}

第t期のリターン（t = 1, 2, …, T）

T

期間数

使いどころ：各期のリターンを単純平均する式。1期間あたりの平均的なリターンを把握する場面で使う。

3. 幾何平均収益率

Geometric Mean Return

R ˉ_{G} = [(1 + R_{1}) (1 + R_{2}) \dots (1 + R_{T})]^{1/ T} - 1

R ˉ_{G}

幾何平均リターン（G = Geometric）

R_{t}

第t期のリターン（t = 1, 2, …, T）

T

期間数

使いどころ：複数期間にわたる複利ベースの平均成長率を求める式。累積リターンを1期あたりに換算する場面で使う。

4. 年率換算リターン

Annualized Return

R_{annual} = (1 + R_{period})^{c} - 1

R_{annual}

年率換算したリターン（annual = 年率）

R_{period}

当該期間のリターン（period = 対象期間）

c

1年に含まれる当該期間の数（例: 日次なら365÷日数）

使いどころ：1年未満または1年超の期間のリターンを年率に換算する式。期間の異なるリターンを比較する場面で使う。

5. 連続複利リターン

Continuously Compounded Return

r_{0, T} = ln (\frac{P _{T}}{P _{0}}) = ln (1 + R_{0, T})

r_{0, T}

時点0から時点Tまでの連続複利リターン

P_{0}, P_{T}

期首（時点0）・期末（時点T）の価格

R_{0, T}

時点0からTまでの保有期間収益率（HPR, Holding Period Return）

使いどころ：保有期間収益率を連続複利ベースのリターンに変換する式。複数期間のリターンを足し算で合計したい場面で使う。

6. 実質リターン(フィッシャー関係式)

Real Return (Fisher Relation)

1 + r_{real} = \frac{1 + r _{nominal}}{1 + inflation}

r_{real}

実質リターン（real = 実質）

r_{nominal}

名目リターン（nominal = 名目）

inflation

インフレ率

使いどころ：名目リターンとインフレ率から実質リターンを求める式。インフレの影響を除いた購買力ベースの収益を把握する場面で使う。

7. レバレッジド・リターン

Leveraged Return

R_{L} = R_{P} + \frac{V _{B}}{V _{E}} (R_{P} - r_{D})

R_{L}

レバレッジ後の自己資金に対するリターン（L = Leveraged）

R_{P}

ポートフォリオ総投資額に対するリターン（P = Portfolio）

V_{B}

借入額（B = Borrowed、負債）

V_{E}

自己資金（E = Equity、自己資本）

r_{D}

借入金利（D = Debt）

使いどころ：借入で投資額を拡大したときの自己資金に対するリターンを求める式。資産リターンと借入コストの差がレバレッジ倍率で拡大する。

LM3 Benchmarking Returns（リターンのベンチマーク（MWR・TWR・指数））

この単元の要点解説：LM3 リターンのベンチマーク（MWR・TWR・指数）

8. 金額加重収益率(IRR)

Money-Weighted Rate of Return (IRR)

CF_{0} + \frac{CF _{1}}{( 1 + IRR )} + \frac{CF _{2}}{( 1 + IRR ) ^{2}} + \dots + \frac{CF _{T}}{( 1 + IRR ) ^{T}} = 0

CF_{t}

第t期のキャッシュフロー（CF = Cash Flow。投資=負、受取=正）

IRR

金額加重収益率。内部収益率（IRR, Internal Rate of Return）として求める

T

最終期（期間数）

使いどころ：資金の拠出・引出しの時期と金額を反映した収益率を、キャッシュフローの現在価値合計をゼロにする割引率として求める式。

9. 時間加重収益率(TWR)

Time-Weighted Rate of Return

R_{TW} = [(1 + R_{1}) (1 + R_{2}) \dots (1 + R_{N})]^{1/ N} - 1

R_{TW}

時間加重収益率（TW = Time-Weighted）

R_{i}

第i期（各サブ期間または各年）の保有期間収益率（HPR, Holding Period Return）

N

期間数（年数）

使いどころ：サブ期間ごとの収益率を幾何的に連結し、入出金の影響を除いた収益率を求める式。運用者の成果の評価に使う。

10. 指数の単一期間リターン(価格・トータル)

Single-Period Index Return (Price & Total)

PR_{I} = w_{1} PR_{1} + w_{2} PR_{2} + \dots + w_{N} PR_{N}

TR_{I} = w_{1} TR_{1} + w_{2} TR_{2} + \dots + w_{N} TR_{N}

PR_{I}, TR_{I}

指数（I = Index）の価格リターン（PR = Price Return）／トータルリターン（TR = Total Return）

w_{i}

銘柄iの期初ウェイト

PR_{i}

銘柄iの価格リターン

TR_{i}

銘柄iのトータルリターン（価格＋配当）

N

構成銘柄数

使いどころ：構成銘柄の価格リターンまたはトータル・リターンをウェイトで加重平均し、株価指数の1期間のリターンを求める式。

11. 複数期間の指数値(幾何連結)

Index Value over Multiple Periods (Geometric Linking)

V_{T} = V_{0} (1 + R_{1}) (1 + R_{2}) \dots (1 + R_{T})

V_{0}

設定時（基準時点）の指数値

V_{T}

T期後の指数値

R_{t}

第t期の指数リターン（小数、t = 1, 2, …, T）

T

期間数

使いどころ：各期の指数リターンを掛け合わせて連結し、複数期間後の指数の水準を求める式。

12. 価格加重指数のウェイトと指数値

Price-Weighted Index Weight & Value

w_{i}^{P} = \frac{P _{i}}{P _{1} + P _{2} + \dots + P _{N}}

Index = \frac{P _{1} + P _{2} + \dots + P _{N}}{D}

w_{i}^{P}

銘柄iの価格加重ウェイト（P = Price）

P_{i}

銘柄iの株価（i = 1, 2, …, N）

N

構成銘柄数

Index

価格加重指数の値

D

除数（通常は設定時の銘柄数、分割等で調整）

使いどころ：価格加重指数で、各銘柄の株価を構成銘柄の株価合計で割ったウェイトと、株価合計を除数で割った指数値を求める式。

13. 時価総額(浮動株調整)加重ウェイト

Market-Capitalization (Float-Adjusted) Weight

w_{i}^{M} = \frac{f _{i} Q _{i} P _{i}}{f _{1} Q _{1} P _{1} + f _{2} Q _{2} P _{2} + \dots + f _{N} Q _{N} P _{N}}

w_{i}^{M}

銘柄iの時価総額加重ウェイト（M = Market capitalization）

f_{i}

銘柄iの浮動株比率（浮動株調整する場合）

Q_{i}

銘柄iの発行済株式数

P_{i}

銘柄iの株価

N

構成銘柄数

使いどころ：浮動株調整時価総額加重指数で、各銘柄の浮動株ベースの時価総額を全構成銘柄の合計で割り、指数内のウェイトを求める式。

LM4 The Time Value of Money in Finance（ファイナンスにおける貨幣の時間価値）

この単元の要点解説：LM4 ファイナンスにおける貨幣の時間価値

14. 期中複利の現在価値

Present Value with Non-Annual Compounding

PV = FV_{N} (1 + \frac{R _{s}}{m})^{- m N}

PV

現在価値（Present Value）

FV_{N}

N年後の将来価値（FV = Future Value）

R_{s}

表示年利率（s = stated）

m

年間の複利回数

N

年数

使いどころ：年に複数回の複利で将来価値を割り引き、現在価値を求める式。月次・四半期などの複利計算で使う。

15. 割引債(ゼロクーポン債)の価格

Zero-Coupon (Discount) Bond Price

PV = \frac{FV}{( 1 + r ) ^{t}}

PV

債券価格（PV = Present Value、現在価値）

FV

満期の額面（FV = Future Value、将来価値）

r

1期間あたりの割引率（最終利回り YTM = Yield to Maturity）

t

満期までの期間数

使いどころ：満期の額面だけを割り引いて割引債の価格を求める式。価格からインプライド・リターンを逆算する場面でも使う。

16. 利付債の価格

Coupon Bond Price

PV = \frac{PMT}{( 1 + r )} + \frac{PMT}{( 1 + r ) ^{2}} + \dots + \frac{PMT}{( 1 + r ) ^{N}} + \frac{FV}{( 1 + r ) ^{N}}

PV

債券価格（PV = Present Value、現在価値）

PMT

1期あたりのクーポン支払額（PMT = Payment）

r

1期あたりの割引率（最終利回り YTM = Yield to Maturity）

N

満期までの期間数

FV

満期の額面（FV = Future Value）

使いどころ：利息と満期の元本をそれぞれ割り引いて合計し、利付債の価格を求める式。価格から利回りを逆算する場面でも使う。

17. 永久債・定額配当の現在価値

Perpetuity / Perpetual Bond / Constant-Dividend Value

PV = \frac{PMT}{r}

PV

現在価値（Present Value）

PMT

1期あたりの一定キャッシュフロー（PMT = Payment。クーポン・配当）

r

1期あたりの要求収益率

使いどころ：満期のない一定額のキャッシュフローの現在価値を求める式。永久債や定額配当の株式の評価に使う。

18. アニュイティの周期支払額(元利均等)

Annuity Payment (Amortizing Loan)

A = \frac{r ( PV )}{1 - ( 1 + r ) ^{- t}}

A

1期あたりの支払額

r

1期あたりの利率

PV

元本（PV = Present Value、現在価値）

t

支払回数

使いどころ：元本（現在価値）から元利均等返済の毎期の支払額を求める式。住宅ローンなどの返済額の計算に使う。

19. 2段階配当割引モデルのターミナルバリュー

Two-Stage DDM Terminal Value

PV_{0} = \frac{D _{0} ( 1 + g _{s} )}{( 1 + r )} + \frac{D _{0} ( 1 + g _{s} ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{2}} + \dots + \frac{D _{0} ( 1 + g _{s} ) ^{n}}{( 1 + r ) ^{n}} + \frac{E ( S _{n} )}{( 1 + r ) ^{n}}

E (S_{n}) = \frac{D _{n} ( 1 + g _{l} )}{r - g _{l}}

PV_{0}

現時点の株式価値（PV = Present Value）

D_{0}

直近（0時点）の配当

g_{s}

初期の高成長率（s = short-term）

r

要求収益率（割引率）

n

高成長期の年数

E (S_{n})

n期時点の株価の期待値＝ターミナルバリュー（E = 期待値）

D_{n}

n期の配当

g_{l}

長期の一定成長率（l = long-term）

使いどころ：高成長期の配当の現在価値と、一定成長へ移行した時点のターミナル・バリューの現在価値を合計して株価を求める式。

20. インプライド要求収益率・成長率

Implied Return and Growth (Rearranged DDM)

r = \frac{D _{t + 1}}{PV _{t}} + g

g = r - \frac{D _{t + 1}}{PV _{t}}

r

要求収益率

D_{t + 1}

来期（t+1期）の予想配当

PV_{t}

現在（t時点）の株価（PV = Present Value）

g

配当成長率

t

現在の時点

使いどころ：現在の株価と予想配当から、要求収益率または市場が織り込む配当成長率を逆算する式。

21. 予想PER(フォワードP/E)

Forward Price-to-Earnings Ratio

\frac{PV _{t}}{E _{t + 1}} = \frac{D _{t + 1} / E _{t + 1}}{r - g}

PV_{t}

現在（t時点）の株価（PV = Present Value）

E_{t + 1}

来期の予想1株当たり利益（EPS, Earnings Per Share）

D_{t + 1}

来期の予想1株当たり配当

D_{t + 1} / E_{t + 1}

予想配当性向

r

要求収益率

g

配当成長率

使いどころ：配当性向・要求収益率・成長率から予想株価収益率（PER）を表す式。株価水準が前提とする成長率を読み取る場面で使う。

LM5 Statistical Characteristics of Asset Returns（資産リターンの統計的特性）

この単元の要点解説：LM5 資産リターンの統計的特性

22. 標本分散・標本標準偏差

Sample Variance and Standard Deviation

s^{2} = \frac{( X _{1} - X ˉ ) ^{2} + ( X _{2} - X ˉ ) ^{2} + \dots + ( X _{n} - X ˉ ) ^{2}}{n - 1}

s = s^{2}

s^{2}, s

標本分散・標本標準偏差

X_{i}

第i番目の観測値（i = 1, 2, …, n）

X ˉ

標本平均

n

観測数

使いどころ：平均からの偏差の2乗和をn−1で割り、データのばらつきを分散・標準偏差として求める式。

23. 変動係数(CV)

Coefficient of Variation

CV = \frac{s}{X ˉ}

CV

変動係数（Coefficient of Variation）

s

標本標準偏差

X ˉ

標本平均

使いどころ：標準偏差を平均で割り、平均1単位あたりのばらつきを求める式。平均の水準が異なる資産のリスク比較に使う。

24. ターゲット下方偏差(セミ偏差)

Target Downside Deviation (Semideviation)

s_{Target} = \frac{( X _{1} - B ) ^{2} + ( X _{2} - B ) ^{2} + \dots}{n - 1}

(分子は X_{i} \leq B の観測値だけを足す)

s_{Target}

ターゲット下方偏差（Target = 目標リターン基準）

X_{i}

第i番目の観測値（分子はBを下回るもののみ）

B

目標（最低許容）リターン

n

全観測数

使いどころ：目標を下回った観測値だけを用いて下振れのばらつきを測る式。下方リスクに注目してリスクを評価する場面で使う。

25. 標本共分散

Sample Covariance

s_{X Y} = \frac{( X _{1} - X ˉ ) ( Y _{1} - Y ˉ ) + ( X _{2} - X ˉ ) ( Y _{2} - Y ˉ ) + \dots + ( X _{n} - X ˉ ) ( Y _{n} - Y ˉ )}{n - 1}

s_{X Y}

変数XとYの標本共分散

X_{i}, Y_{i}

2変数の第i番目の観測値

X ˉ, Y ˉ

各変数の標本平均

n

観測数

使いどころ：2変数の偏差の積の和をn−1で割り、2資産のリターンが同じ方向に動くかを測る式。相関係数の分子にあたる。

26. 標本相関係数

Sample Correlation Coefficient

r_{X Y} = \frac{s _{X Y}}{s _{X} s _{Y}}

r_{X Y}

変数XとYの標本相関係数

s_{X Y}

XとYの標本共分散

s_{X}, s_{Y}

各変数の標本標準偏差

使いどころ：共分散を各標準偏差の積で割り、2変数の直線的な関係の強さと向きを−1〜＋1で表す式。

LM6 Statistical Distributions for Financial Asset Prices and Returns（金融資産の価格・リターンの統計的分布）

この単元の要点解説：LM6 金融資産の価格・リターンの統計的分布

27. 離散確率変数の期待値

Expected Value of a Discrete Random Variable

E (X) = P (X_{1}) X_{1} + P (X_{2}) X_{2} + \dots + P (X_{n}) X_{n}

E (X)

確率変数Xの期待値

P (X_{i})

結果X_iが起こる確率

X_{i}

第i番目の結果の値

n

起こりうる結果の数

使いどころ：各シナリオの結果をその確率で加重して合計し、離散型確率変数の期待値を求める式。予測値の算出に使う。

28. 確率変数の分散

Variance of a Random Variable

σ^{2} (X) = P (X_{1}) [X_{1} - E (X)]^{2} + P (X_{2}) [X_{2} - E (X)]^{2} + \dots + P (X_{n}) [X_{n} - E (X)]^{2}

σ^{2} (X)

確率変数Xの分散

P (X_{i})

結果X_iが起こる確率

X_{i}

第i番目の結果の値

E (X)

Xの期待値

n

起こりうる結果の数

使いどころ：期待値からの偏差の2乗を確率で加重して合計し、確率変数のばらつき（分散）を求める式。

29. 期待値の全確率の法則(条件付き期待値)

Total Probability Rule for Expected Value

E (X) = E (X ∣ S_{1}) P (S_{1}) + E (X ∣ S_{2}) P (S_{2}) + \dots + E (X ∣ S_{n}) P (S_{n})

E (X)

Xの無条件の期待値

E (X ∣ S_{i})

シナリオS_iのもとでのXの条件付き期待値

P (S_{i})

シナリオS_iの確率

n

排反かつ網羅的なシナリオの数

使いどころ：排反かつ網羅的なシナリオごとの条件付き期待値を、シナリオの確率で加重して無条件の期待値を求める式。

30. ベイズの公式

Bayes’ Formula

P (E ∣ I) = \frac{P ( I ∣ E )}{P ( I )} P (E)

P (E ∣ I)

新情報Iのもとでの事象Eの更新確率（事後確率）

P (I ∣ E)

事象Eのもとで情報Iが得られる確率（尤度）

P (I)

新情報Iの無条件確率

P (E)

事象Eの事前確率

使いどころ：新しい情報を得たときに、事前確率を事後確率へ更新する式。情報を踏まえた確率の見直しに使う。

31. 同時確率による共分散

Covariance from a Joint Probability Function

Cov (R_{A}, R_{B}) = P (R_{A, 1}, R_{B, 1}) (R_{A, 1} - E (R_{A})) (R_{B, 1} - E (R_{B})) + P (R_{A, 1}, R_{B, 2}) (R_{A, 1} - E (R_{A})) (R_{B, 2} - E (R_{B})) + \dots (A と B の結果のすべての組み合わせについて足す)

Cov (R_{A}, R_{B})

資産AとBのリターンの共分散（Cov = Covariance）

R_{A, i}, R_{B, j}

結果i・jにおける資産A・Bのリターン

P (R_{A, i}, R_{B, j})

Aのリターンが R_{A,i}、Bが R_{B,j} となる同時確率

E (R_{A}), E (R_{B})

各資産の期待リターン

使いどころ：シナリオ別の2資産のリターンとその同時確率から、2資産のリターンの連動性を表す共分散を求める式。

LM7 Estimation and Hypothesis Testing（推定と仮説検定）

この単元の要点解説：LM7 推定と仮説検定

32. 標本平均の標準誤差

Standard Error of the Sample Mean

s_{X ˉ} = \frac{s}{n}

s_{X ˉ}

標本平均の標準誤差

s

標本標準偏差（母標準偏差σが既知ならσ）

n

標本サイズ

使いどころ：標本標準偏差を√nで割り、標本平均の推定精度を表す標準誤差を求める式。信頼区間や検定統計量の計算に使う。

33. 母平均の信頼区間

Confidence Interval for the Population Mean

X ˉ \pm t_{α /2} (\frac{s}{n})

X ˉ

標本平均

t_{α /2}

信頼水準に対応するt分布の臨界値（片側α/2）

α

有意水準（1−信頼水準）

s

標本標準偏差

n

標本サイズ

s / n

標準誤差

使いどころ：標本平均と標準誤差から、母平均が一定の信頼水準で含まれる区間を求める式。母分散が未知の場合はt分布を使う。

34. 単一平均のt検定

t-Test of a Single Mean

t = \frac{X ˉ - μ _{0}}{s / n} (df = n - 1)

t

t統計量

X ˉ

標本平均

μ_{0}

仮説上の母平均

s

標本標準偏差

n

標本サイズ

df

自由度（degrees of freedom）

使いどころ：母分散が未知のとき、1つの母平均が仮説値と異なるかを検定するt統計量を求める式。自由度はn−1。

35. 単一分散のカイ二乗検定

Chi-Square Test of a Single Variance

χ^{2} = \frac{( n - 1 ) s ^{2}}{σ _{0}^{2}} (df = n - 1)

χ^{2}

カイ二乗統計量

n

標本サイズ

s^{2}

標本分散

σ_{0}^{2}

仮説上の母分散

df

自由度（degrees of freedom）

使いどころ：1つの母分散が仮説値と異なるか、あるいは一定水準を上回るか下回るかを検定する統計量を求める式。

36. 平均差のt検定(独立標本・プール分散)

t-Test for Difference of Means (Pooled)

t = \frac{( X ˉ _{1} - X ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{p}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{p}^{2}}{n _{2}}}, s_{p}^{2} = \frac{( n _{1} - 1 ) s _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) s _{2}^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}

t

t統計量

X ˉ_{1}, X ˉ_{2}

各標本の平均

μ_{1}, μ_{2}

各母集団の平均（仮説上の差 μ₁−μ₂ を置く）

s_{p}^{2}

プール（共通）分散（p = pooled）

n_{1}, n_{2}

各標本のサイズ

s_{1}^{2}, s_{2}^{2}

各標本の分散

使いどころ：等分散を仮定した独立な2標本について、母平均の差を検定する統計量をプールした分散を用いて求める式。

37. 対標本検定(差の平均)

Paired Comparisons Test (Mean of Differences)

t = \frac{d ˉ - μ _{d 0}}{s _{d ˉ}}, s_{d ˉ} = \frac{s _{d}}{n} (df = n - 1)

t

t統計量

d ˉ

各ペアの差dの標本平均

μ_{d 0}

仮説上の差の母平均（通常0）

s_{d ˉ}

差の平均の標準誤差

s_{d}

差dの標本標準偏差

n

ペア数

df

自由度（degrees of freedom）

使いどころ：同じ対象を対応づけた2系列のデータについて、差の平均がゼロと異なるかを検定する統計量を求める式。

38. 2分散の等分散F検定

F-Test for Equality of Two Variances

F = \frac{s _{1}^{2}}{s _{2}^{2}} (df_{1} = n_{1} - 1, df_{2} = n_{2} - 1)

F

F統計量（大きい方の分散を分子に置く）

s_{1}^{2}, s_{2}^{2}

各標本の分散

n_{1}, n_{2}

各標本のサイズ

df_{1}, df_{2}

分子・分母の自由度（df = degrees of freedom）

使いどころ：2つの標本分散の比から、2つの母分散（ボラティリティ）が等しいかを検定するF統計量を求める式。

39. 相関のt検定

t-Test of Correlation

t = \frac{r n - 2}{1 - r ^{2}} (df = n - 2)

t

t統計量

r

標本相関係数

n

観測数

df

自由度（degrees of freedom）

使いどころ：標本相関係数と標本サイズから、母相関がゼロと異なるかを検定する統計量を求める式。

40. 独立性のカイ二乗検定

Chi-Square Test of Independence

χ^{2} = \frac{( O _{11} - E _{11} ) ^{2}}{E _{11}} + \frac{( O _{12} - E _{12} ) ^{2}}{E _{12}} + \dots + \frac{( O _{r c} - E _{r c} ) ^{2}}{E _{r c}}

E_{ij} = \frac{( 行 i 合計 ) ( 列 j 合計 )}{総計}

χ^{2}

カイ二乗統計量

O_{ij}

第i行・第j列のセルの観測度数（O = Observed）

E_{ij}

独立を仮定した第i行・第j列の期待度数（E = Expected）

r, c

分割表の行数・列数

(r - 1) (c - 1)

検定の自由度

使いどころ：分割表の観測度数と期待度数の差から、2つのカテゴリー属性が独立かを検定する統計量を求める式。

LM10 Applications of Simple Linear Regression in Finance（ファイナンスにおける単回帰分析の応用）

この単元の要点解説：LM10 ファイナンスにおける単回帰分析の応用

41. 単回帰の傾きと切片

Simple Linear Regression Slope and Intercept

b^_{1} = \frac{( Y _{1} - Y ˉ ) ( X _{1} - X ˉ ) + ( Y _{2} - Y ˉ ) ( X _{2} - X ˉ ) + \dots + ( Y _{n} - Y ˉ ) ( X _{n} - X ˉ )}{( X _{1} - X ˉ ) ^{2} + ( X _{2} - X ˉ ) ^{2} + \dots + ( X _{n} - X ˉ ) ^{2}}

b^_{0} = Y ˉ - b^_{1} X ˉ

b^_{1}

傾き係数の推定値（＝共分散Cov(Y,X)÷分散Var(X)。Covariance, Variance）

Y_{i}, X_{i}

第i観測の被説明変数・説明変数

X ˉ, Y ˉ

X・Yの標本平均

n

観測数

b^_{0}

切片の推定値

使いどころ：最小二乗法で単回帰の傾きと切片を推定する式。傾きは説明変数と被説明変数の共分散を説明変数の分散で割って求める。

42. 決定係数(R²)

Coefficient of Determination (R-squared)

R^{2} = \frac{SSR}{SST} = \frac{( Y ^ _{1} - Y ˉ ) ^{2} + ( Y ^ _{2} - Y ˉ ) ^{2} + \dots + ( Y ^ _{n} - Y ˉ ) ^{2}}{( Y _{1} - Y ˉ ) ^{2} + ( Y _{2} - Y ˉ ) ^{2} + \dots + ( Y _{n} - Y ˉ ) ^{2}} = r^{2}

R^{2}

決定係数

SSR

回帰平方和（Sum of Squares Regression）：説明された変動

SST

総平方和（Sum of Squares Total）：全変動

Y^_{i}

第i観測の回帰による予測値

Y ˉ

被説明変数の標本平均

Y_{i}

第i観測の被説明変数の実績値

n

観測数

r

標本相関係数（単回帰では R² = r²）

使いどころ：被説明変数の全変動のうち回帰で説明される割合を求める式。回帰モデルの当てはまりの評価に使う。

43. 回帰のF統計量と推定の標準誤差(SEE)

Regression F-Statistic and Standard Error of Estimate

F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{SSR / k}{SSE / ( n - k - 1 )}

s_{e} = MSE

F

F統計量

MSR

平均回帰平方（Mean Square Regression）＝SSR/k

MSE

平均二乗誤差（Mean Squared Error）＝SSE/(n−k−1)。単回帰ではSSE/(n−2)

SSR

回帰平方和（Sum of Squares Regression）

k

独立変数の数（単回帰は1）

SSE

残差平方和（Sum of Squared Errors）

n

観測数

s_{e}

推定の標準誤差（SEE, Standard Error of Estimate）

使いどころ：回帰全体の有意性を検定するF統計量と、残差のばらつきを表す推定値の標準誤差を求める式。

44. 回帰傾き係数のt検定

t-Test of the Regression Slope

t = \frac{b ^ _{1} - B _{1}}{s _{b^_{1}}}

s_{b^_{1}} = \frac{s _{e}}{( X _{1} - X ˉ ) ^{2} + ( X _{2} - X ˉ ) ^{2} + \dots + ( X _{n} - X ˉ ) ^{2}} (df = n - 2)

t

t統計量

b^_{1}

推定された傾き係数

B_{1}

仮説上の傾き（通常0）

s_{b^_{1}}

傾き係数の標準誤差

s_{e}

推定の標準誤差（SEE, Standard Error of Estimate）

X_{i}

第i観測の説明変数

X ˉ

説明変数の標本平均

n

観測数

df

自由度（degrees of freedom）

使いどころ：回帰の傾き係数が仮説値（通常はゼロ）と異なるかを検定するt統計量を求める式。自由度はn−2。

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