数理最適化と代表的なモデルとは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「数理最適化と代表的なモデル」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

数理最適化と代表的なモデルとは

「限られた予算で利益を最大にしたい」「目標リターンを確保しながらリスクを最小にしたい」といった問題は、ビジネスや資産運用のあらゆる場面に出てきます。こうした問題を数式で表し、最もよい答え（最適解）を求めるのが数理最適化です。

最適化問題の3つの要素

数理最適化の問題は、次の3つで表します。1つ目は、自分で決められる量である決定変数（各資産への投資比率、各製品の生産量など）。2つ目は、良し悪しを測る目的関数（期待リターン、利益、リスクなど）で、これを最大化または最小化します。3つ目は、守らなければならない制約条件（投資比率の合計は1、予算の上限、空売り禁止など）です。制約条件をすべて満たす解を実行可能解、その集合を実行可能領域といい、実行可能解のなかで目的関数を最もよくするものが最適解です。

代表的なモデル

目的関数と制約条件がすべて1次式なら線形計画問題、決定変数が整数に限られるなら整数計画問題、目的関数や制約に2次以上の項などの非線形な式を含むなら非線形計画問題です。非線形計画のうち、目的関数が2次式で制約が1次式のものを2次計画問題といいます。

局所最適と大域最適

非線形の問題では、近くの点と比べると最もよい局所最適解が、全体で最もよい大域最適解とは限りません。ただし、目的関数と実行可能領域が凸（凸計画問題）であれば、局所最適解は大域最適解になります。線形計画問題や、平均分散モデルの多くはこの凸計画に含まれるため、扱いやすい問題です。

整理しておきたいポイント

具体例で確認

2資産に投資する場合の平均分散アプローチを、最適化問題として書いてみます。

• 決定変数：資産1への投資比率w₁、資産2への投資比率w₂
• 目的関数：ポートフォリオの分散 w₁²σ₁² ＋ w₂²σ₂² ＋ 2w₁w₂σ₁₂ を最小化
• 制約条件：w₁ ＋ w₂ ＝ 1（全額投資）、w₁μ₁ ＋ w₂μ₂ ＝ 目標リターン、必要に応じてw₁, w₂ ≧ 0（空売り禁止）

目的関数が投資比率の2次式、制約が1次式なので、これは2次計画問題です。等式制約だけならラグランジュの未定乗数法で解け、空売り禁止のような不等式制約が加わるとKKT条件などを使って解きます。

動画で解説

この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「数理最適化と代表的な数理最適化モデルについて理解する」）。

要点まとめ

• 数理最適化＝制約のもとで目的関数を最大化・最小化する
• 要素は決定変数・目的関数・制約条件
• 代表的なモデルは線形計画・整数計画・非線形計画（2次計画）
• 平均分散ポートフォリオは2次計画問題の代表例

証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。

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※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。