ラグランジュの未定乗数法とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計｜証券アナリスト試験

ひとことで言うと

ラグランジュの未定乗数法は、等式制約のある最適化問題を解く方法です。
目的関数から「λ×制約」を引いたラグランジュ関数をつくり、各変数とλで偏微分して0とおいた連立方程式を解きます。
λ（ラグランジュ乗数）は、制約を1単位ゆるめたときに最適値がどれだけ変わるか（シャドウプライス）を表します。

この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「ラグランジュの未定乗数法」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。

分野	1次科目Ⅲ／数量分析と確率・統計
大分類	(9) 最適化手法
協会の学習ポイント	ラグランジュの未定乗数法による解法について理解する。

ラグランジュの未定乗数法とは

「投資比率の合計は1」「予算はちょうど100」のように、変数が等式の制約を満たさなければならない最適化問題はよく出てきます。制約式を1つの変数について解いて代入できる場合もありますが、変数や制約が多いと代入は大変です。そこで使われるのがラグランジュの未定乗数法です。

解き方の手順

目的関数f(x, y)を、制約g(x, y)＝cのもとで最大化（または最小化）するとします。まず、新しい変数λ（ラグランジュ乗数）を導入し、ラグランジュ関数 L＝f(x, y)－λ{g(x, y)－c} をつくります。次に、Lをx、y、λのそれぞれで偏微分して0とおきます。λで偏微分した式は、もとの制約g(x, y)＝cそのものになります。この連立方程式を解いて得られる点が、最適解の候補です。

図形的な意味

最適点では、目的関数の等高線と制約の曲線がちょうど接しています。接している点では両者の勾配（法線の向き）が平行なので、∇f＝λ∇gが成り立ちます。これが「偏微分＝0」の条件の中身です。

λの意味

λは単なる計算上の補助変数ではなく、制約の右辺cを1単位増やしたときに、目的関数の最適値がどれだけ増えるかを表します（dF^*/dc＝λ）。経済学では、制約となっている資源の限界的な価値としてシャドウプライス（潜在価格）と呼ばれます。なお、この方法で得られるのは候補点であり、最大か最小かは問題の性質（目的関数の凸性など）で確認します。