確率密度関数と累積分布関数とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 連続した値をとる確率変数では、確率を確率密度関数f(x)のグラフの下の面積で表します。
- 累積分布関数F(x)は、x以下になる確率（xより左側の面積）で、F(x)を微分すると確率密度関数になります。
- 連続型では、ちょうど1つの値をとる確率は0です。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「確率密度関数と累積分布関数」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (5) 確率分布 |
| 協会の学習ポイント | 連続型の確率変数の確率密度関数と累積分布関数について理解する。 |
確率密度関数と累積分布関数とは
連続型確率変数
株式のリターンや金利のように、ある範囲の中のどんな実数値もとりうる確率変数を連続型確率変数といいます。連続型では、とりうる値が無数にあるため、「リターンがちょうど5.000…％になる確率」は0になります。そこで、「ある範囲に入る確率」を考えます。
確率密度関数
確率密度関数f(x)は、その値の付近にどれだけ確率が集まっているか（確率の密度）を表す関数です。Xがaからbの範囲に入る確率は、f(x)のグラフとx軸にはさまれた、aからbまでの部分の面積（積分）で表されます。確率密度関数は次の条件を満たします。
- すべてのxでf(x) ≧ 0
- グラフの下の面積の合計（全範囲での積分）は1
f(x)の値そのものは確率ではないため、1を超えることもあります。たとえば0から0.5の間で一様に分布する確率変数では、f(x)＝2です。
累積分布関数
累積分布関数F(x)＝P(X ≦ x)は、確率密度関数のグラフでxより左側の面積にあたります。離散型と同じく0から1まで増えていきますが、連続型では階段状ではなく、なめらかにつながった曲線になります。F(x)を微分すると確率密度関数f(x)が得られ、逆にf(x)を積分するとF(x)が得られる、という関係にあります。
押さえておきたい公式
具体例で確認
確率変数Xが0から10の間で一様に分布している（どの値も同じ程度に起こりやすい）とします。
- 確率密度関数：面積の合計が1になるように、f(x)＝1÷10＝0.1（0≦x≦10、それ以外は0）
- 累積分布関数：F(x)＝0.1×x＝x/10（0≦x≦10）。F(0)＝0、F(10)＝1
- 2から5の間に入る確率：面積は0.1×(5−2)＝0.3（F(5)−F(2)＝0.5−0.2でも同じ）
- ちょうど3になる確率：幅が0なので面積は0
- 期待値は中央の5です
正規分布のような曲線の場合も考え方は同じで、確率は曲線の下の面積として求めます。実際の計算では、面積をまとめた標準正規分布表などを使います。
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「連続型確率変数・確率密度関数・累積分布関数を理解し、累積分布関数から確率を計算する」）。
試験で問われやすいポイント
- 連続型の確率は確率密度関数の面積（積分）で表すこと。
- 確率密度関数の値そのものは確率ではなく、1を超えることもあること。
- 連続型では1点の確率は0で、「以下」と「未満」の区別が不要になること。
- 累積分布関数を微分すると確率密度関数になる関係。
- 面積の合計が1という条件から、密度関数の未知の定数を求める問題。
要点まとめ
- 連続型の確率は確率密度関数のグラフの下の面積。
- 確率密度関数は0以上で、全体の面積は1。
- 累積分布関数F(x)はx以下の面積で、微分するとf(x)になる。
- 1点の確率は0なので、範囲の確率で考える。
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
