累積分布関数による確率計算とは？意味と試験で問われるポイント｜証券アナリスト1次・数量分析と確率・統計
ひとことで言うと
- 累積分布関数F(x)＝P(X ≦ x)がわかれば、区間に入る確率はF(b)−F(a)という引き算で求められます。
- ある値を超える確率は1−F(a)、確率が指定された値になる点（分位点）はF(x)＝その確率を解いて求めます。
- 連続型では1点の確率が0なので、「以下」と「未満」の違いを気にする必要はありません。
この記事では、証券アナリスト1次「数量分析と確率・統計」の学習ポイントのひとつ「累積分布関数からの確率計算」について、意味と試験で問われやすいポイントを解説します。
| 分野 | 1次 科目Ⅲ／数量分析と確率・統計 |
|---|---|
| 大分類 | (5) 確率分布 |
| 協会の学習ポイント | 累積分布関数から確率を計算する方法について理解する。 |
累積分布関数による確率計算とは
連続型確率変数の確率は、確率密度関数のグラフの下の面積です。面積を毎回積分で計算するのは大変ですが、累積分布関数F(x)（x以下の面積）がわかっていれば、積分をしなくても引き算だけで確率を求められます。
区間の確率
Xがaからbの間に入る確率は、「b以下の面積」から「a以下の面積」を取り除いた部分なので、F(b)−F(a)です。連続型では1点の確率が0なので、P(a < X ≦ b)もP(a ≦ X ≦ b)もP(a < X < b)も同じ値になります。
上側の確率
Xがaを超える確率は、全体の面積1からa以下の面積を引いた1−F(a)です。「損失が一定額を超える確率」のように、分布の裾（テール）の確率を知りたい場面でよく使います。
分位点（パーセンタイル）
逆に、確率を先に決めて「F(x)＝0.05となるx」を求めることもできます。これを下側5％点（5パーセンタイル）といい、F(x)＝0.5となるxは中央値です。VaR（バリュー・アット・リスク）のように、「一定の確率で起こりうる損失の大きさ」を考えるときの基礎になります。
標準正規分布表は、標準正規分布の累積分布関数（またはその一部）の値を一覧にしたものです。表を使った確率計算も、ここで学ぶ「累積分布の差をとる」考え方そのものです。
押さえておきたい公式
具体例で確認
確率変数Xが0から1の値をとり、累積分布関数がF(x)＝x2（0≦x≦1）であるとします（確率密度関数はf(x)＝2x）。
- 0.5を超え0.8以下になる確率：F(0.8)−F(0.5)＝0.64−0.25＝0.39
- 0.9を超える確率：1−F(0.9)＝1−0.81＝0.19
- 中央値：x2＝0.5より、x＝√0.5≒0.707
- 下側5％点：x2＝0.05より、x＝√0.05≒0.224
標準正規分布Zでも同じです。累積分布関数の値Φ(1)≒0.8413を使うと、左右対称なのでΦ(−1)≒0.1587となり、P(−1 < Z ≦ 1)＝0.8413−0.1587≒0.683です。またP(Z > 1.645)＝1−Φ(1.645)≒0.05となります。
動画で解説
この論点は、証券アナリストアカデミーのYouTubeで解説しています。テキストとあわせて確認してください（動画「連続型確率変数・確率密度関数・累積分布関数を理解し、累積分布関数から確率を計算する」）。
試験で問われやすいポイント
- 区間の確率F(b)−F(a)と、上側確率1−F(a)の使い分け。
- 連続型では「以下」「未満」で答えが変わらないこと（離散型との違い）。
- F(x)＝αを解いて分位点や中央値を求める逆算。
- 標準正規分布の対称性（Φ(−z)＝1−Φ(z)）を使った計算。
要点まとめ
- 区間の確率は累積分布関数の差F(b)−F(a)で求める。
- 上側の確率は1−F(a)。
- F(x)＝αを解けば分位点が求まり、α＝0.5なら中央値。
- 標準正規分布表の計算も同じ考え方。
証券アナリストアカデミーのYouTube（@cma-fa-academy）では、学習ポイントに沿って論点を1つずつ解説しています。
※学習ポイントは日本証券アナリスト協会「【2026年度】CMA資格の取得に求められる主要学習事項と学習ポイント」より引用しています。
